题目
2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(2) xy^2dσ,其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 及y轴所围成的右半闭区域;-|||-D
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域D是由圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 及y轴所围成的右半闭区域。这意味着x的取值范围是从0到2，而y的取值范围是从-2到2。因此，D可以用不等式表示为 $0\leqslant x\leqslant \sqrt {4-{y}^{2}},-2\leqslant y\leqslant 2$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目要求，我们需要计算二重积分 ${\iint }_{D}x{y}^{2}d\sigma$。由于积分区域D是关于y轴对称的，我们可以将二重积分表示为 ${\int }_{-2}^{2}{y}^{2}dy{\int }_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}}xdx$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}}xdx$。这是一个关于x的定积分，其结果为 $\dfrac {1}{2}x^{2}|_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}} = \dfrac {1}{2}(4-{y}^{2})$。
步骤 4：计算外层积分
将内层积分的结果代入外层积分，得到 ${\int }_{-2}^{2}{y}^{2}\dfrac {1}{2}(4-{y}^{2})dy$。这是一个关于y的定积分，其结果为 $\dfrac {1}{2}{\int }_{-2}^{2}(4{y}^{2}-{y}^{4})dy$。计算这个积分，我们得到 $\dfrac {1}{2}[\dfrac {4}{3}{y}^{3}-\dfrac {1}{5}{y}^{5}]|_{-2}^{2} = \dfrac {1}{2}(\dfrac {32}{3}-\dfrac {32}{5}) = \dfrac {64}{15}$。
积分区域D是由圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$ 及y轴所围成的右半闭区域。这意味着x的取值范围是从0到2，而y的取值范围是从-2到2。因此，D可以用不等式表示为 $0\leqslant x\leqslant \sqrt {4-{y}^{2}},-2\leqslant y\leqslant 2$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目要求，我们需要计算二重积分 ${\iint }_{D}x{y}^{2}d\sigma$。由于积分区域D是关于y轴对称的，我们可以将二重积分表示为 ${\int }_{-2}^{2}{y}^{2}dy{\int }_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}}xdx$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}}xdx$。这是一个关于x的定积分，其结果为 $\dfrac {1}{2}x^{2}|_{0}^{\sqrt {4-{y}^{2}}} = \dfrac {1}{2}(4-{y}^{2})$。
步骤 4：计算外层积分
将内层积分的结果代入外层积分，得到 ${\int }_{-2}^{2}{y}^{2}\dfrac {1}{2}(4-{y}^{2})dy$。这是一个关于y的定积分，其结果为 $\dfrac {1}{2}{\int }_{-2}^{2}(4{y}^{2}-{y}^{4})dy$。计算这个积分，我们得到 $\dfrac {1}{2}[\dfrac {4}{3}{y}^{3}-\dfrac {1}{5}{y}^{5}]|_{-2}^{2} = \dfrac {1}{2}(\dfrac {32}{3}-\dfrac {32}{5}) = \dfrac {64}{15}$。