微分方程 y' - xy' = a(y^2 + y') 是（ ）A. 齐次方程B. 可分离变量方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程

本题考查微分方程类型的判断，解题思路是先对给定的微分方程进行化简变形，然后根据不同类型微分方程的定义来判断该方程属于哪种类型。

步骤一：对给定的微分方程进行化简

已知微分方程$y' - xy' = a(y^2 + y')$，将含有$y'$的项进行合并：
$y' - xy' - ay' = ay^2$
提取公因式$y'$可得：
$(1 - x - a)y' = ay^2$
进一步变形为：
$y'=\frac{ay^2}{1 - x - a}$

步骤二：根据不同类型微分方程的定义进行判断

• 齐次方程：形如$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$的方程为齐次方程，而化简后的方程$y'=\frac{ay^2}{1 - x - a}$不符合该形式，所以不是齐次方程。
• 可分离变量方程：形如$g(y)dy = f(x)dx$的方程为可分离变量方程。由$y'=\frac{ay^2}{1 - x - a}$可得$\frac{1}{y^2}dy=\frac{a}{1 - x - a}dx$，符合可分离变量方程的形式，所以该方程是可分离变量方程。
• 线性齐次方程：形如$y'+P(x)y = 0$的方程为线性齐次方程，化简后的方程$y'=\frac{ay^2}{1 - x - a}$中含有$y^2$项，不符合线性齐次方程的形式，所以不是线性齐次方程。
• 线性非齐次方程：形如$y'+P(x)y = Q(x)$的方程为线性非齐次方程，同样由于方程中含有$y^2$项，不符合线性非齐次方程的形式，所以不是线性非齐次方程。