题目
2.设矩阵A=}0&1&21&1&42&-1&1
2.设矩阵$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\1&1&4\\2&-1&1\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}2&1&3\\-3&5&6\end{bmatrix}$ 解矩阵方程$AX=B^{\prime}$
题目解答
答案
1. **求逆矩阵 $A^{-1}$**
对增广矩阵 $[A | I]$ 进行初等行变换，化为 $[I | A^{-1}]$。
经过变换得：
\[
A^{-1} = \begin{bmatrix}
5 & -3 & 2 \\
7 & -4 & 2 \\
-3 & 2 & -1
\end{bmatrix}
\]
2. **计算 $X = A^{-1}B'$**
$B' = \begin{bmatrix}
2 & -3 \\
1 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix}$
\[
X = A^{-1}B' = \begin{bmatrix}
13 & -18 \\
16 & -29 \\
-7 & 13
\end{bmatrix}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\begin{bmatrix}
13 & -18 \\
16 & -29 \\
-7 & 13
\end{bmatrix}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及逆矩阵的求法和矩阵乘法的应用。
解题思路：
- 验证矩阵$A$是否可逆：计算行列式，若行列式不为零，则存在逆矩阵。
- 求逆矩阵$A^{-1}$：通过增广矩阵的行变换法，将$[A|I]$化为$[I|A^{-1}]$。
- 计算$X = A^{-1}B'$：将矩阵$B$转置后与$A^{-1}$相乘，得到解矩阵$X$。
关键点：
- 行列式的计算是判断矩阵可逆的前提。
- 增广矩阵的行变换是求逆矩阵的核心步骤。
- 矩阵乘法的准确性直接影响最终结果。
1. 验证矩阵$A$可逆
计算矩阵$A$的行列式：
$\begin{aligned}|A| &= 0 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot (-1)) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) + 2 \cdot (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) \\&= 0 - 1 \cdot (-7) + 2 \cdot (-3) \\&= 7 - 6 = 1 \neq 0.\end{aligned}$
因此，$A$可逆。
2. 求逆矩阵$A^{-1}$
通过增广矩阵$[A|I]$的行变换：
- 交换第一行与第二行，使左上角元素为1。
- 消去第三行的第一个元素，用第三行减去2倍第一行。
- 消去第三行的第二个元素，用第三行加上3倍第二行。
- 化第三行第三个元素为1，将第三行乘以$-1$。
- 回代消元，最终得到：
$A^{-1} = \begin{bmatrix}5 & -3 & 2 \\7 & -4 & 2 \\-3 & 2 & -1\end{bmatrix}.$
3. 计算$X = A^{-1}B'$
- 转置矩阵$B$：
$B' = \begin{bmatrix}2 & -3 \\1 & 5 \\3 & 6\end{bmatrix}.$ - 矩阵乘法：
$X = A^{-1}B' = \begin{bmatrix}13 & -18 \\16 & -29 \\-7 & 13\end{bmatrix}.$