题目

设随机变量X和Y相互独立，且f_(x)(x)=} 2x, & 0 < x < 1 0, & (其他)

设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$f_{x}(x)=\begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$f_{y}(y)=\begin{cases} e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，则概率密度函数$f(x,y)=$().

A $f(x,y)=\begin{cases} 2xe^{-y}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

B $f(x,y)=\begin{cases} 2xe^{-2y}, & 0 < x < 1 \text{且} y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

C $f(x,y)=\begin{cases} 2xe^{-y}, & 0 < x < 1 \text{且} y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

D $f(x,y)=\begin{cases} 2xe^{-y}, & x > 0 \text{且} y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

题目解答

答案

为了找到随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数 $f(x, y)$，我们利用 $X$ 和 $Y$ 相互独立的事实。对于两个独立的随机变量，它们的联合概率密度函数是它们各自概率密度函数的乘积。也就是说， \[ f(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y). \] 已知 $X$ 的概率密度函数为 \[ f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}, \] 以及 $Y$ 的概率密度函数为 \[ f_Y(y) = \begin{cases} e^{-y}, & y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}, \] 我们可以找到联合概率密度函数 $f(x, y)$ 为 \[ f(x, y) = \begin{cases} 2x \cdot e^{-y}, & 0 < x < 1 \text{ 且 } y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}. \] 现在，我们比较这个结果与给定的选项： A. $ f(x, y) = \begin{cases} 2xe^{-x}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $ B. $ f(x, y) = \begin{cases} 2xe^{-2y}, & 0 < x < 1 \text{ 且 } y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $ C. $ f(x, y) = \begin{cases} 2xe^{-y}, & 0 < x < 1 \text{ 且 } y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $ D. $ f(x, y) = \begin{cases} 2xe^{-x}, & x > 0 \text{ 且 } y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $ 正确答案是选项 C。因此，答案是 \[ \boxed{C} \]

解析

本题考查二维随机变量中独立随机变量的联合概率密度函数的计算。关键知识点：若两个随机变量$X$和$Y$相互独立，则它们的联合概率密度函数等于各自边缘概率密度函数的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$。

步骤1：确定$X$和$Y$的边缘概率密度函数

  • $X$的概率密度函数：$f_X(x)=\begin{cases}2x & 0
  • $Y$的概率密度函数：$f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y} & y>0 \\ 0 & \text{其他}\end{cases}$

步骤2：计算联合概率密度函数

根据独立性，$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$。需同时满足$f_X(x)$和$f_Y(y)$非零的条件：

  • $f_X(x)\neq0$当且仅当$0
  • $f_Y(y)\neq0$当且仅当$y>0$。

因此，联合概率密度函数为：
$f(x,y)=\begin{cases}2x\cdot e^{-y} & 00 \\ 0 & \text{其他}\end{cases}$

步骤3：匹配选项

对比选项可知，选项C完全符合上述结果。