题目
3.计算下列对坐标的曲面积分:-|||-(3) ∫[f(x,y,z)+xldyda+[2f(x,5+y]dadx+[f(x,y,+z]+z]dxdy 其中-|||-f(x,y,z)为连续函数,∑是平面 x-y+z=1 在第四卦限部分的上侧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面方程和法向量
曲面∑由方程 x-y+z=1 定义，且位于第四卦限。在第四卦限，x>0, y<0, z>0。曲面∑在任一点处的单位法向量为 n= 1/√(x+)1 (-zx,-zy,1)=1/√3 (1,-1,1)。
步骤 2：将曲面积分转化为二重积分
由于∑取上侧，故曲面积分可转化为二重积分。根据两类曲面积分之间的联系，可得
原式 $={\iint }_{z}[ (F+x)\cos \alpha +(2f+y)\cos \beta +(5+2)\cos \gamma ] 0s$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{[ (-1)+(2+2)] }(-2)$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{1}(x-y+z)dS$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{d}dS$。
步骤 3：计算二重积分
二重积分的计算需要确定积分区域。由于∑是平面 x-y+z=1 在第四卦限部分的上侧，积分区域为 x>0, y<0, z>0。因此，二重积分的计算为
$=\dfrac {1}{\sqrt {3}}\cdot (2$ 的面积 $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}=\dfrac {1}{2}$。
曲面∑由方程 x-y+z=1 定义，且位于第四卦限。在第四卦限，x>0, y<0, z>0。曲面∑在任一点处的单位法向量为 n= 1/√(x+)1 (-zx,-zy,1)=1/√3 (1,-1,1)。
步骤 2：将曲面积分转化为二重积分
由于∑取上侧，故曲面积分可转化为二重积分。根据两类曲面积分之间的联系，可得
原式 $={\iint }_{z}[ (F+x)\cos \alpha +(2f+y)\cos \beta +(5+2)\cos \gamma ] 0s$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{[ (-1)+(2+2)] }(-2)$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{1}(x-y+z)dS$ $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}{\int }_{2}^{d}dS$。
步骤 3：计算二重积分
二重积分的计算需要确定积分区域。由于∑是平面 x-y+z=1 在第四卦限部分的上侧，积分区域为 x>0, y<0, z>0。因此，二重积分的计算为
$=\dfrac {1}{\sqrt {3}}\cdot (2$ 的面积 $=\dfrac {1}{\sqrt {3}}\cdot \dfrac {\sqrt {3}}{2}=\dfrac {1}{2}$。