题目
填空题（共18题，72.0分）8.（4.0分）若随机变量X满足EX=1，DX=4，则由切比雪夫不等式，P(|X-1|≥3)≤_____.（请用最简分数作答，如1/3）
填空题（共18题，72.0分）
8.（4.0分）若随机变量X满足EX=1，DX=4，则由切比雪夫不等式，P{|X-1|≥3}≤_____.（请用最简分数作答，如1/3）
题目解答
答案
由切比雪夫不等式 $ P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{D(X)}{\epsilon^2} $，代入已知条件 $ E(X) = 1 $，$ D(X) = 4 $，以及 $ \epsilon = 3 $，得
\[
P(|X - 1| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9}.
\]
因此，答案为 $\boxed{\frac{4}{9}}$。
解析
本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确切比雪夫不等式的公式，再将题目中给定的随机变量的期望、方差以及不等式中的参数代入公式进行计算。
切比雪夫不等式的公式为：对于任意的随机变量 $X$，若其期望为 $E(X)$，方差为 $D(X)$，则对于任意的正数 $\epsilon$，有 $P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{D(X)}{\epsilon^2}$。
在本题中，已知随机变量 $X$ 满足 $E(X)=1$，$D(X)=4$，要求 $P\{|X - 1| \geq 3\}$ 的上界。这里可以将 $E(X)=1$ 对应到公式中的 $E(X)$，$\epsilon = 3$ 对应到公式中的 $\epsilon$，$D(X)=4$ 对应到公式中的 $D(X)$。
将这些值代入切比雪夫不等式 $P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{D(X)}{\epsilon^2}$ 中，可得：
$P(|X - 1| \geq 3) \leq \frac{D(X)}{3^2}$
把 $D(X)=4$ 代入上式，得到：
$P(|X - 1| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2}=\frac{4}{9}$