lim_(xto0)(1+x^2)^(1)/(sin^(2)x)=（）A. eB. -eC. e^-1D. 1

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与对数函数的转换，以及等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：
当遇到形如 $(1 + f(x))^{g(x)}$ 的极限问题（其中 $f(x) \to 0$，$g(x) \to \infty$），通常通过以下步骤处理：

1. 取自然对数，将指数转化为乘积形式；
2. 利用等价无穷小替换简化表达式；
3. 计算极限后取指数得到最终结果。

破题关键点：

• 正确识别底数 $(1+x^2)$ 和指数 $\frac{1}{\sin^2 x}$ 的关系；
• 将 $\sin x$ 用等价无穷小 $x$ 替换，简化计算；
• 应用 $\ln(1+x^2) \sim x^2$ 的等价替换。

设原式为 $L = \lim_{x \to 0} (1+x^2)^{\frac{1}{\sin^2 x}}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对 $L$ 取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{\sin^2 x}$

步骤2：应用等价无穷小替换

当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\ln(1+x^2) \sim x^2$，因此：
$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$

步骤3：求指数得结果

对 $\ln L = 1$ 取指数：
$L = e^1 = e$