7.求极限lim_(xto0)((1-cos x)sin x)/(sqrt(1+x^3))-1.

考查要点：本题主要考查利用等价无穷小替换求极限的方法，以及对常见无穷小替换公式的熟练应用。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，分子和分母中的某些表达式可以替换为与其等价的简单无穷小，从而简化极限计算。关键在于正确识别分子和分母中的等价无穷小形式，并进行替换。

破题关键点：

1. 分子部分：$1 - \cos x$与$\frac{x^2}{2}$等价，$\sin x$与$x$等价。
2. 分母部分：$\sqrt{1+x^3} - 1$与$\frac{x^3}{2}$等价。
   将这些等价无穷小代入原式后，分子和分母的最高次项会被约去，最终得到常数结果。

步骤1：识别分子中的等价无穷小

• 当$x \to 0$时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$。
• 当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$。
  因此，分子$(1 - \cos x)\sin x$可近似为$\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$。

步骤2：识别分母中的等价无穷小

• 当$x \to 0$时，$\sqrt{1+x^3} - 1$可展开为泰勒级数：
  $\sqrt{1+x^3} = 1 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \cdots$
  因此，$\sqrt{1+x^3} - 1 \sim \frac{x^3}{2}$。

步骤3：代入等价无穷小并化简
将分子和分母的近似表达式代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2}} = \lim_{x \to 0} 1 = 1.$