题目
13. (12.0分) 已知一组实验数据x 1 2 3 4 5f(x) 4 4.5 6 8 8.5试用最小二乘法求拟合曲线y=ax+b。
13. (12.0分) 已知一组实验数据
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 4.5 6 8 8.5
试用最小二乘法求拟合曲线y=ax+b。
题目解答
答案
根据最小二乘法，拟合曲线 $ y = ax + b $ 的系数 $ a $ 和 $ b $ 可通过以下方程组求解：
\[
\begin{cases}
\sum x_i y_i = a \sum x_i^2 + b \sum x_i \\
\sum y_i = a \sum x_i + nb
\end{cases}
\]
给定数据：
\[
\begin{cases}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
f(x) & 4 & 4.5 & 6 & 8 & 8.5
\end{cases}
\]
计算得：
\[
\sum x_i = 15, \quad \sum y_i = 31, \quad \sum x_i^2 = 55, \quad \sum x_i y_i = 105.5
\]
代入方程组：
\[
\begin{cases}
105.5 = 55a + 15b \\
31 = 15a + 5b
\end{cases}
\]
化简第二个方程得 $ 6.2 = 3a + b $。
消去 $ b $ 后解得 $ a = 1.25 $，$ b = 2.45 $。
因此，拟合曲线为：
\[
\boxed{y = 1.25x + 2.45}
\]