题目

设样本空间 Omega = 1,2,3,4，且每个样本点出现的概率相等，令 A_1 = 1,2，A_2 = 1,3，A_3 = 1,4，A_4 = 2,3，则下列结论正确的是().A. A_1, A_2, A_3 相互独立，A_1, A_2, A_4 相互独立；B. A_1, A_2, A_3 两两独立，A_1, A_2, A_4 两两独立.C. A_1, A_2, A_3 两两独立，A_1, A_2, A_4 相互独立；D. A_1, A_2, A_3 相互独立，A_1, A_2, A_4 两两独立；

设样本空间 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，且每个样本点出现的概率相等，令 $A_1 = \{1,2\}$，$A_2 = \{1,3\}$，$A_3 = \{1,4\}$，$A_4 = \{2,3\}$，则下列结论正确的是().

A. $A_1, A_2, A_3$ 相互独立，$A_1, A_2, A_4$ 相互独立；

B. $A_1, A_2, A_3$ 两两独立，$A_1, A_2, A_4$ 两两独立.

C. $A_1, A_2, A_3$ 两两独立，$A_1, A_2, A_4$ 相互独立；

D. $A_1, A_2, A_3$ 相互独立，$A_1, A_2, A_4$ 两两独立；

题目解答

答案

答案：B

解析：

  1. 概率计算：
    每个事件的概率为 $P(A_i) = \frac{1}{2}$（$i=1,2,3,4$）。

  2. 两两独立性：

    • $P(A_1 \cap A_2) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} = P(A_1)P(A_2)$，故 $A_1$ 与 $A_2$ 独立。
    • 同理，$A_1$ 与 $A_3$、$A_1$ 与 $A_4$、$A_2$ 与 $A_3$、$A_2$ 与 $A_4$ 均独立。
    • $P(A_3 \cap A_4) = P(\emptyset) = 0 \neq P(A_3)P(A_4)$，故 $A_3$ 与 $A_4$ 不独立。

  3. 三事件独立性：

    • $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} \neq P(A_1)P(A_2)P(A_3) = \frac{1}{8}$，故 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 不相互独立。
    • $P(A_1 \cap A_2 \cap A_4) = P(\emptyset) = 0 \neq P(A_1)P(A_2)P(A_4) = \frac{1}{8}$，故 $A_1$、$A_2$、$A_4$ 不相互独立。

结论：
$A_1$、$A_2$、$A_3$ 两两独立，$A_1$、$A_2$、$A_4$ 两两独立，选项 B 正确。

$\boxed{B}$

解析

本题考查事件的独立性，解题思路是先分别计算各事件两两相交的概率以及各事件三个同时相交的概率，再根据独立性的定义判断事件是否两两独立或相互独立。

概率计算

已知样本空间 $\Omega = \{1,2,3,4\}$，且每个样本点出现的概率相等，事件 $A_1 = \{1,2\}$，$A_2 = \{1,3\}$，$A_3 = \{1,4\}$，$A_4 = \{2,3\}$。
根据古典概型概率公式 $P(A)=\frac{m}{n}$（其中 $m$ 是事件 $A$ 包含的样本点个数，$n$ 是样本空间 $\Omega$ 包含的样本点个数），可得每个事件的概率为：
$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = P(A_4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

两两独立性判断

  • 计算 $P(A_1 \cap A_2)$：
    $A_1 \cap A_2 = \{1\}$，则 $P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{4}$。
    因为 $P(A_1)P(A_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_2)$，所以 $A_1$ 与 $AA_2$ 独立。
  • 同理，可计算 $P(A_1 \cap A_3)$)$：
    $A_1 \cap A_3 = \{1\}$，$P(A_1 \cap A_3) = \frac{1}{4}$，$P(A_1)P(A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_3)$，所以 $A_1$ 与 $A_3$ 独立。
  • 计算 $P(A_1 \cap A_4)：
    $A_1 \cap A_4 = \{2\}$，$P(A_1 \cap A_4) = \frac{1}{4}$，$P(A_1)P(A_4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_4)$，所以 $A_1$ 与 $A_4$ 独立。
  • 计算 $P(A_2 \cap A_3)$：
    $A_2 \cap A_3 = \{1\}$，$P(A_2 \cap A_3) = \frac{1}{4}$，$P(A_2)P(A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A_2 \cap A_3)$，所以 $A_2$ 与 $A_3$ 独立。
  • 计算 $P(A_2 \cap A__4)$：
    $A_2 \cap A_4 = \{3\}$，$P(A_2 \cap A_4) = \frac{1}{4}$，$P(A_2)P(A_4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A_2 \cap A_4)$，所以 $A_2$ 与 $A_4$ 独立。
  • 计算 $P(A_3 \cap A_4)$：
    $A_3 \cap A_4 = \emptyset$，则 $P(A_3 \cap A_4) = 0$，而 $P(A_3)P(A_4) = \frac{1}{2} \times \frac{2,3\} = \frac{1}{4} \neq 0$，所以 $A_3$ 与 $A_4$ 不独立。

三事件独立性判断

  • 计算 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)$：
    $A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{1\}$，$PP(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{1}{4}$，而 $P(A_1)P(A_2)P(A_3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{4}$，所以 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 不相互独立。
  • 计算 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_4)$：
    $A_1 \capcap A_2 \cap A_4 = \emptyset$，则 $P(A_1 \cap A_2 \cap A_4) = 0$，而 $P(A_1)P(A_2)P(A_4) = \frac{1}{2} \times \frac{1,3\} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq 0$，所以 $A_1$、$A_2$、$A_4$ 不相互独立。

结论

$A_1$、$A_2$、$A_3$ 两两独立，$A_1$、$A_2$2$、$A_4$ 两两独立，选项 B 正确。