题目
15.lim_(xto+infty)ln(1+2^x)ln(1+(2)/(x))=____
15.$\lim_{x\to+\infty}\ln(1+2^{x})\ln(1+\frac{2}{x})=$____
题目解答
答案
当 $x \to +\infty$ 时，
1. $\ln(1+2^x) \approx \ln(2^x) = x \ln 2$，
2. $\ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx \frac{2}{x}$（利用对数近似）。
将两式相乘得：
\[
\ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) \approx (x \ln 2) \cdot \frac{2}{x} = 2 \ln 2.
\]
取极限得：
\[
\lim_{x \to +\infty} \ln(1+2^x) \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = 2 \ln 2.
\]
**答案：** $\boxed{2 \ln 2}$
解析
本题考查函数极限的计算，解题思路是利用等价无穷小替换简化函数，再计算极限。
- 分析$\ln(1 + 2^x)$在$x\to +\infty$时的等价无穷小：
当$x\to +\infty$时，$2^x\to +\infty$，此时$1$相对于$2^x$可忽略不计，所以$\ln(1 + 2^x)\approx\ln(2^x)$。
根据对数运算法则$\ln a^b = b\ln a$，可得$\ln(2^x)=x\ln 2$。 - 分析$\ln(1 + \frac{2}{x})$在$x\to +\infty$时的等价无穷小：
当$x\to +\infty$时，$\frac{2}{x}\to 0$。
根据等价无穷小公式，当$t\to 0$时，$\ln(1 + t)\approx t$，令$t = \frac{2}{x}$，则$\ln(1 + \frac{2}{x})\approx\frac{2}{x}$。 - 计算极限：
将上述等价无穷小代入原式可得：
$\lim_{x\to +\infty}\ln(1 + 2^x)\ln(1 + \frac{2}{x})\approx\lim_{x\to +\infty}(x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}$
对$(x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}$进行化简，$x$约掉，得到$2\ln 2$，即$\lim_{x\to +\infty}(x\ln 2)\cdot\frac{2}{x}=\lim_{x\to +\infty}2\ln 2 = 2\ln 2$。