题目
21.(本题满分12分)-|||-设3阶实对称矩阵 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)) ^2=A 且 (A)=2, _(1)+(a)_(2)=(a)_(3).-|||-(1)求矩阵A;-|||-(2)求正交矩阵Q,使得二次型x^TAx经正交变换 x=Qy 化为标准形.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定矩阵A的特征值和特征向量
由 ${A}^{2}=A$ 可知，矩阵A是幂等矩阵，其特征值只能是0或1。又因为 r(A)=2，所以矩阵A的秩为2，即矩阵A有2个非零特征值，因此矩阵A的特征值为1,1,0。
步骤 2：求矩阵A的特征向量
由 ${a}_{1}+{a}_{2}={a}_{3}$ 可知，${a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{3}=0$，即A| -1 -1 -1 1 =0=0 1 ，则δ3= 1 为 ${\lambda }_{3}=0$ 对应的线性无关的特征向量。
令 ${\sigma }_{{x}_{2}}={(\begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{matrix} )$ 为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的特征向量，因为 ${A}^{T}=A$ ，所以 ${8}^{T}{{S}_{3}}=0$ ，从而 ${x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}=0$ ，从而 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的线性无关的特征向量为δ1= 1 ，δ2= 0 0 1 /1 0 0 2 -1 1
步骤 3：求矩阵A
令P= $\left (\begin{matrix} -1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{matrix} ) \right.$ ，则A= P 0 1 P^(-1)=1/3 -1 2 1 0 1 1 2 1 1 、 1
步骤 4：求正交矩阵Q
令 ${\theta }_{1}=(\begin{matrix} -1\\ 1\\ 0\end{matrix} )$ ，β2=δ2 2- (β1,β1) o +1/2 1 =1/2 1 ，${\beta }_{3}={\sigma }_{3}=(\begin{matrix} 1\\ 1\\ -1\end{matrix} )$ ，再令 1 (δ2,β1) δ1= 2 1 y1=√2/2( -1\ ,Y2=√6/6 1 ,y3=√3/3 1 1 1 2 .Q= $\left [ \begin{matrix} & \dfrac {\sqrt {3}}{2}& \sqrt {\dfrac {1}{3}}& \sqrt {3}}{\sqrt {3}}\\ \sqrt {\dfrac {12}{2}}& \dfrac {\sqrt {6}}{2}& \dfrac {\sqrt {3}}{3}\\ 0& \dfrac {\sqrt {3}}{4}& -\dfrac {\sqrt {3}}{4}\end{matrix} ] \right.$ x^TAx x-0y/ =y1^2+y2^2.
由 ${A}^{2}=A$ 可知，矩阵A是幂等矩阵，其特征值只能是0或1。又因为 r(A)=2，所以矩阵A的秩为2，即矩阵A有2个非零特征值，因此矩阵A的特征值为1,1,0。
步骤 2：求矩阵A的特征向量
由 ${a}_{1}+{a}_{2}={a}_{3}$ 可知，${a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{3}=0$，即A| -1 -1 -1 1 =0=0 1 ，则δ3= 1 为 ${\lambda }_{3}=0$ 对应的线性无关的特征向量。
令 ${\sigma }_{{x}_{2}}={(\begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\end{matrix} )$ 为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的特征向量，因为 ${A}^{T}=A$ ，所以 ${8}^{T}{{S}_{3}}=0$ ，从而 ${x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}=0$ ，从而 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的线性无关的特征向量为δ1= 1 ，δ2= 0 0 1 /1 0 0 2 -1 1
步骤 3：求矩阵A
令P= $\left (\begin{matrix} -1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& -1\end{matrix} ) \right.$ ，则A= P 0 1 P^(-1)=1/3 -1 2 1 0 1 1 2 1 1 、 1
步骤 4：求正交矩阵Q
令 ${\theta }_{1}=(\begin{matrix} -1\\ 1\\ 0\end{matrix} )$ ，β2=δ2 2- (β1,β1) o +1/2 1 =1/2 1 ，${\beta }_{3}={\sigma }_{3}=(\begin{matrix} 1\\ 1\\ -1\end{matrix} )$ ，再令 1 (δ2,β1) δ1= 2 1 y1=√2/2( -1\ ,Y2=√6/6 1 ,y3=√3/3 1 1 1 2 .Q= $\left [ \begin{matrix} & \dfrac {\sqrt {3}}{2}& \sqrt {\dfrac {1}{3}}& \sqrt {3}}{\sqrt {3}}\\ \sqrt {\dfrac {12}{2}}& \dfrac {\sqrt {6}}{2}& \dfrac {\sqrt {3}}{3}\\ 0& \dfrac {\sqrt {3}}{4}& -\dfrac {\sqrt {3}}{4}\end{matrix} ] \right.$ x^TAx x-0y/ =y1^2+y2^2.