【题目]-|||-已知f(x)= |} x& 1& 1& 2 1& x& 1& -1 3& 2& x& 1 1& 1& 2x& 1 | . 那么f(x)中x^3项的系数是[ ...-|||-(A)1 (B) -1 (C)2 (D) -2

本题考查行列式展开后特定项的系数求解。核心思路是利用行列式的展开式，找到所有可能产生$x^3$项的乘积项，并计算它们的系数之和。关键在于：

1. 识别含$x$的元素位置：主对角线上的三个$x$和第四行第三列的$2x$。
2. 分析排列组合：只有当乘积项中恰好包含三个$x$（或等效次数为3次的组合）时，才能产生$x^3$项。
3. 符号计算：根据排列的奇偶性确定各项的符号。

步骤1：确定主对角线乘积项

主对角线元素为$x, x, x, 1$，乘积为$x \cdot x \cdot x \cdot 1 = x^3$，符号为$+1$，对应系数$+1$。

步骤2：寻找其他可能的$x^3$项

考虑排列$\sigma = (1, 2, 4, 3)$，即：

• 第一行选第1列：$x$
• 第二行选第2列：$x$
• 第三行选第4列：$1$
• 第四行选第3列：$2x$

乘积为$x \cdot x \cdot 1 \cdot 2x = 2x^3$，符号由排列$\sigma$的奇偶性决定。该排列需交换第三、第四列，符号为$-1$，对应系数$-2x^3$。

步骤3：合并系数

$x^3$项的总系数为$1 + (-2) = -1$。