设有向量组a1=(2,21,4,3)^T,a2=(-1,1,-6,6)^T,a3=(-1,-2,2,-9)^T,a4=(1,1,-2,7)^T(1)求R（a1,a2,a3,a4);(2)a1,a2,a3,a4是否线性相关；(3)求a1,a2,a3,a4的一个极大无关组；(4)用极大无关组表示其它向量.

考查要点：本题主要考查向量组的秩、线性相关性、极大无关组及其表示方法。
解题思路：

1. 秩的求解：将向量组构成矩阵，通过行变换化为阶梯形，非零行数即为秩。
2. 线性相关性：若向量个数超过秩，则线性相关。
3. 极大无关组：选取阶梯形中主元对应的原向量。
4. 表示其他向量：通过回代求解线性组合系数。

第（1）题：求秩

构造矩阵 $A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4]$，进行行变换：

1. 初等行变换：
   • $r_1 - 2r_2$，$r_3 - 4r_2$，$r_4 - 3r_2$
   • $r_4 + r_1$，$r_4 \times \frac{1}{3}$
   • $r_1 + r_4$，$r_2 - r_4$，$r_3 + 6r_4$
   • $r_1 \times (-\frac{1}{3})$，$r_2 - r_1$，$r_3 + 10r_1$
2. 阶梯形矩阵：
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
3. 结论：非零行数为3，故 $R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。

第（2）题：线性相关性

向量组共4个向量，秩为3，向量个数 > 秩，故线性相关。

第（3）题：极大无关组

阶梯形中主元位于第1、2、4列，对应原向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$，故极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4\}$。

第（4）题：表示其他向量

由阶梯形方程组可得：
$\alpha_3 = -\alpha_1 - \alpha_2$