题目

36/38问答题（10分）设方程y=1+xe^y确定了隐函数y=f(x)，求y'|_(x=0).

36/38问答题（10分） 设方程$y=1+xe^{y}$确定了隐函数$y=f(x)$，求$y'|_{x=0}$.

题目解答

答案

对等式 $ y = 1 + xe^y $ 两边关于 $ x $ 求导，得：
$y' = e^y + xe^y y'$
整理得：
$y'(1 - xe^y) = e^y \implies y' = \frac{e^y}{1 - xe^y}$
当 $ x = 0 $ 时，代入原方程得 $ y = 1 $。将 $ x = 0 $ 和 $ y = 1 $ 代入导数表达式：
$y'|_{x=0} = \frac{e^1}{1 - 0 \cdot e^1} = e$
答案： $\boxed{e}$

解析

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，以及代入特定点求导数值的能力。

解题核心思路：

  1. 对等式两边同时关于$x$求导，注意使用链式法则处理$y$的导数；
  2. 整理方程，将含$y'$的项移到等式一侧，解出$y'$的表达式；
  3. 代入$x=0$对应的$y$值，计算具体数值。

破题关键点：

  • 正确应用乘积法则和链式法则对$x e^y$求导；
  • 先求$x=0$时的$y$值，再代入导数表达式。

对等式 $y = 1 + x e^y$ 两边关于 $x$ 求导：

  1. 左边求导：$\frac{dy}{dx} = y'$。

  2. 右边求导：

    • 常数项$1$的导数为$0$；
    • 对$x e^y$使用乘积法则：
      $\frac{d}{dx}(x e^y) = \frac{dx}{dx} \cdot e^y + x \cdot \frac{d}{dx}(e^y) = e^y + x e^y y'$。

  3. 整理方程：
    $y' = e^y + x e^y y'$
    移项得：
    $y' - x e^y y' = e^y$
    提取$y'$：
    $y'(1 - x e^y) = e^y$
    解得：
    $y' = \frac{e^y}{1 - x e^y}$

  4. 代入$x=0$时的$y$值：
    当$x=0$时，原方程变为$y = 1 + 0 \cdot e^y = 1$，即$y=1$。

  5. 代入导数表达式：
    $y'\bigg|_{x=0} = \frac{e^1}{1 - 0 \cdot e^1} = e$