4.已知随机变量X的概率密度函数为f_(x)(x)，令Y=-2X，则Y的概率密度函数f_(y)(y)为（）A. 2f_(x)(-2y)B. f_(x)(-(y)/(2))C. -(1)/(2)f_(x)(-(y)/(2))D. (1)/(2)f_(x)(-(y)/(2))

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度函数求解方法，特别是线性变换下的密度函数转换。

解题核心思路：
当随机变量$Y$是$X$的线性函数$Y = aX + b$时，利用变量替换法，通过求导分布函数或直接应用密度函数变换公式，结合绝对值处理系数$a$的影响，得到$f_Y(y)$的表达式。

破题关键点：

1. 确定变换关系：由$Y = -2X$得$X = -\frac{Y}{2}$，注意系数为负数时的处理。
2. 应用密度函数变换公式：$f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right)$，其中$a = -2$，$b = 0$。
3. 符号与绝对值处理：系数$a$为负数时，需通过分布函数推导验证，确保符号正确。

变量替换与公式应用

1. 确定变换关系：
   由$Y = -2X$，得$X = -\frac{Y}{2}$，即$X$与$Y$的关系为线性变换，系数$a = -2$，常数项$b = 0$。

2. 应用密度函数变换公式：
   对于线性变换$Y = aX + b$，概率密度函数为：
   $f_Y(y) = \frac{1}{|a|} f_X\left(\frac{y - b}{a}\right).$
   代入$a = -2$，$b = 0$，得：
   $f_Y(y) = \frac{1}{|-2|} f_X\left(\frac{y}{-2}\right) = \frac{1}{2} f_X\left(-\frac{y}{2}\right).$

符号验证（分布函数法）

1. 分布函数推导：
   分布函数$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(-2X \leq y) = P\left(X \geq -\frac{y}{2}\right)$（因不等式方向随负号改变）。
   因此，$F_Y(y) = 1 - F_X\left(-\frac{y}{2}\right)$。

2. 求导得密度函数：
   对$F_Y(y)$求导：
   $f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left[1 - F_X\left(-\frac{y}{2}\right)\right] = -f_X\left(-\frac{y}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} f_X\left(-\frac{y}{2}\right).$

结论：选项D正确，即$f_Y(y) = \frac{1}{2} f_X\left(-\frac{y}{2}\right)$。