3.验证极lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2sin dfrac (1)(x)}(sin x)存在，但不能用洛必达法则得出.

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是等价无穷小替换和夹逼定理的应用，同时强调在特定条件下不能使用洛必达法则。

解题核心思路：

1. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，可简化分母。
2. 有界函数与无穷小量乘积：虽然$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时振荡无极限，但其绝对值不超过1，与$x$相乘后整体趋于0。
3. 避免洛必达法则：直接使用洛必达法则会导致循环或复杂化，需通过变形简化表达式。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此原式可变形为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}.$

步骤2：分析极限形式
观察$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$：

• 有界性：$\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，即$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。
• 无穷小量：$x \to 0$，即$|x| \to 0$。

步骤3：应用夹逼定理
由$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|$，且$\lim_{x \to 0} |x| = 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$