题目
12.（判断题，2.0分）函数z=f(x,y)在P(x_(0),y_(0))处一定有f_(xy)(x_(0),y_(0))=f_(yx)(x_(0),y_(0)).A 对B 错A. 对B. 错
12.（判断题，2.0分）
函数$z=f(x,y)$在$P(x_{0},y_{0})$处一定有$f_{xy}(x_{0},y_{0})=f_{yx}(x_{0},y_{0})$.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解 Clairaut's 定理
Clairaut's 定理指出，如果函数 $f(x, y)$ 的二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的邻域内连续，则在该点处 $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$。
步骤 2：考虑不满足连续条件的情况
如果二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的邻域内不连续，则在该点处 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 和 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 可能不相等。
步骤 3：给出反例
考虑函数 $f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$（在原点定义为0）。在原点处，$f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0)$，说明混合偏导数不相等。
Clairaut's 定理指出，如果函数 $f(x, y)$ 的二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的邻域内连续，则在该点处 $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$。
步骤 2：考虑不满足连续条件的情况
如果二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $P(x_0, y_0)$ 的邻域内不连续，则在该点处 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 和 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 可能不相等。
步骤 3：给出反例
考虑函数 $f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$（在原点定义为0）。在原点处，$f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0)$，说明混合偏导数不相等。