【题目】6已知 f(x)=(e^x+1)/(e^x-1),求f(x)的水平渐近线和垂直渐近线

考查要点：本题主要考查函数的水平渐近线和垂直渐近线的求解方法，涉及极限的计算。

解题核心思路：

1. 水平渐近线：当$x$趋向于正无穷或负无穷时，函数值的极限是否存在。若存在，则对应的$y$值即为水平渐近线。
2. 垂直渐近线：当$x$趋向于某个有限值时，函数值趋向于正无穷或负无穷。此时对应的$x$值即为垂直渐近线，通常出现在分母为零的点。

破题关键点：

• 水平渐近线：通过分子分母同除以$e^x$化简极限表达式，或直接分析主导项。
• 垂直渐近线：找到分母为零的$x$值，并验证极限是否趋向无穷。

水平渐近线

1. 当$x \to +\infty$时：

   • 分子$e^x + 1$和分母$e^x - 1$的主导项均为$e^x$。
   • 化简极限：
     $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$
   • 结论：水平渐近线为$y = 1$。

2. 当$x \to -\infty$时：

   • $e^x \to 0$，分子趋近于$1$，分母趋近于$-1$。
   • 直接计算极限：
     $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1$
   • 结论：水平渐近线为$y = -1$。

垂直渐近线

1. 分母为零的点：

   • 解方程$e^x - 1 = 0$，得$x = 0$。

2. 验证极限：

   • 当$x \to 0^+$时，分母$e^x - 1 \to 0^+$，分子$e^x + 1 \to 2$，故$\frac{2}{0^+} \to +\infty$。
   • 当$x \to 0^-$时，分母$e^x - 1 \to 0^-$，分子$e^x + 1 \to 2$，故$\frac{2}{0^-} \to -\infty$。
   • 结论：垂直渐近线为$x = 0$。