题目
[题目]过坐标原点作曲线 =ln x 的切线,该切线-|||-与曲线 =ln x 及x轴围成平面图形D.-|||-(1)求D的面积A;-|||-(2)求D绕直线 =e 旋转一周所得旋转体的体积v.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求切线方程
设切点的横坐标为 $x_0$，则曲线 $y=\ln x$ 在点 $(x_0, \ln x_0)$ 处的切线方程是 $y=\ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x-x_0)$。由该切线过原点知 $\ln x_0 - 1 = 0$，从而 $x_0 = e$，代入切线方程得该切线的方程为 $y=\frac{1}{e}x$。
步骤 2：求平面图形D的面积A
利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为 $dA=(e^y-ey)dy$，则D的面积为 $A=\int_{0}^{1}(e^y-ey)dy$。
步骤 3：求旋转体的体积V
切线 $y=\frac{1}{e}x$ 与x轴及直线 $x=e$ 所围成的三角形绕直线 $x=e$ 旋转所得的圆锥体积为 $V_1=\frac{1}{3}\pi e^2$。曲线 $y=\ln x$ 与x轴及直线 $x=e$ 所围成的图形绕直线 $x=e$ 旋转所得的旋转体体积为 $V_2=\int_{0}^{1}\pi (e-e^y)^2dy$。因此所求旋转体的体积为 $V=V_1-V_2$。
设切点的横坐标为 $x_0$，则曲线 $y=\ln x$ 在点 $(x_0, \ln x_0)$ 处的切线方程是 $y=\ln x_0 + \frac{1}{x_0}(x-x_0)$。由该切线过原点知 $\ln x_0 - 1 = 0$，从而 $x_0 = e$，代入切线方程得该切线的方程为 $y=\frac{1}{e}x$。
步骤 2：求平面图形D的面积A
利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为 $dA=(e^y-ey)dy$，则D的面积为 $A=\int_{0}^{1}(e^y-ey)dy$。
步骤 3：求旋转体的体积V
切线 $y=\frac{1}{e}x$ 与x轴及直线 $x=e$ 所围成的三角形绕直线 $x=e$ 旋转所得的圆锥体积为 $V_1=\frac{1}{3}\pi e^2$。曲线 $y=\ln x$ 与x轴及直线 $x=e$ 所围成的图形绕直线 $x=e$ 旋转所得的旋转体体积为 $V_2=\int_{0}^{1}\pi (e-e^y)^2dy$。因此所求旋转体的体积为 $V=V_1-V_2$。