15.若int f(x)dx=sin 2x+C，C为常数，则f(x)=_.

本题考查不定积分与求导的互逆关系。解题的关键在于理解不定积分的定义，若$\int f(x)dx = F(x) + C$（$C$为常数），那么$f(x)$就是$F(x) + C$的导数，即$f(x)=F^\prime(x)$。

下面我们分两种方法来求解$f(x)$：

方法一

已知$\int f(x)dx=\sin 2x+C$，根据不定积分与求导的互逆关系，对等式两边求导可得$f(x)$。
根据求导公式$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，常数的导数为$0$，所以$\frac{d}{dx}(\sin 2x + C)=\frac{d}{dx}(\sin 2x)+\frac{d}{dx}(C)=\frac{d}{dx}(\sin 2x)$。
再根据复合函数求导公式$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = 2x$，则$\frac{d}{dx}(\sin 2x)=\frac{d}{du}(\sin u)\cdot\frac{du}{dx}$。
因为$\frac{d}{du}(\sin u)=\cos u$，$\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(2x)=2$，所以$\frac{d}{dx}(\sin 2x)=\cos 2x\cdot 2 = 2\cos 2x$，即$f(x)=2\cos 2x$。

方法二

先利用正弦二倍角公式$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，则$\int f(x)dx=2\sin x\cos x+C$。
同样根据不定积分与求导的互逆关系，对等式两边求导可得$f(x)$。
$f(x)=\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x + C)=\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x)+\frac{d}{dx}(C)=\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x)$。
根据常数与函数乘积的求导公式$(cf(x))^\prime=cf^\prime(x)$，可得$\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x)=2\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)$。
再根据乘积的求导公式$(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，令$u = \sin x$，$v = \cos x$，则$\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\frac{d}{dx}(\sin x)\cdot\cos x+\sin x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)$。
因为$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$，$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$，所以$\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)=\cos^2 x - \sin^2 x$。
则$f(x)=2(\cos^2 x - \sin^2 x)$，又因为余弦二倍角公式$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$，所以$f(x)=2\cos 2x$。