题目
12. (2.5分) 设L从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段，则int_(L)y^2dx=( ).A. 0B. a²C. 1D. -(4)/(3)a^3
12. (2.5分) 设L从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段，则$\int_{L}y^{2}dx=( )$.
A. 0
B. a²
C. 1
D. $-\frac{4}{3}a^{3}$
题目解答
答案
A. 0
解析
步骤 1：确定积分路径
- 直线段 $L$ 从点 $A(a,0)$ 沿 $x$-轴到点 $B(-a,0)$。在这段路径上，$y$ 的值始终为 $0$，因为 $L$ 位于 $x$-轴上。
步骤 2：将 $y$ 代入被积函数
- 由于 $y = 0$ 在整个路径上，被积函数 $y^2$ 也等于 $0$。
步骤 3：计算积分
- 积分 $\int_{L} y^2 \, dx$ 变为 $\int_{L} 0 \, dx$。
步骤 4：简化积分
- 任何函数与 $0$ 相乘的积分都是 $0$。因此，$\int_{L} 0 \, dx = 0$。
步骤 5：考虑积分限
- 积分限是从 $x = a$ 到 $x = -a$。然而，由于被积函数是 $0$，积分的结果与积分限无关。
- 直线段 $L$ 从点 $A(a,0)$ 沿 $x$-轴到点 $B(-a,0)$。在这段路径上，$y$ 的值始终为 $0$，因为 $L$ 位于 $x$-轴上。
步骤 2：将 $y$ 代入被积函数
- 由于 $y = 0$ 在整个路径上，被积函数 $y^2$ 也等于 $0$。
步骤 3：计算积分
- 积分 $\int_{L} y^2 \, dx$ 变为 $\int_{L} 0 \, dx$。
步骤 4：简化积分
- 任何函数与 $0$ 相乘的积分都是 $0$。因此，$\int_{L} 0 \, dx = 0$。
步骤 5：考虑积分限
- 积分限是从 $x = a$ 到 $x = -a$。然而，由于被积函数是 $0$，积分的结果与积分限无关。