[题目]求过点 (-1,2,3), 垂直于直线-|||-dfrac (x)(4)=dfrac (y)(5)=dfrac (z)(6), 且平行于平面 7x+8y+9z+10=0 的-|||-直线方程.

考查要点：本题主要考查空间直线方程的求解，涉及直线方向向量的确定、直线与直线垂直、直线与平面平行的条件。

解题核心思路：

1. 确定方向向量：所求直线需同时满足两个条件：
   • 垂直于已知直线：方向向量与已知直线的方向向量点积为0；
   • 平行于平面：方向向量与平面的法向量点积为0。
2. 联立方程求解方向向量：通过上述两个条件建立方程组，解出方向向量。
3. 代入点写出直线方程：利用点向式方程表达直线。

破题关键点：

• 正确建立方向向量的方程：根据垂直和平行条件列出两个方程；
• 合理选择参数简化计算：通过消元法或设定参数求解方向向量。

步骤1：确定已知条件

1. 已知直线方向向量：直线 $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}$ 的方向向量为 $\vec{u} = (4,5,6)$；
2. 平面法向量：平面 $7x + 8y + 9z + 10 = 0$ 的法向量为 $\vec{n} = (7,8,9)$；
3. 过点：$P_0(-1,2,3)$。

步骤2：设方向向量并建立方程

设所求直线方向向量为 $\vec{v} = (a,b,c)$，需满足：

1. 垂直于 $\vec{u}$：
   $4a + 5b + 6c = 0$
2. 平行于平面（即 $\vec{v} \perp \vec{n}$）：
   $7a + 8b + 9c = 0$

步骤3：解方程组求方向向量

联立方程：
$\begin{cases}4a + 5b + 6c = 0 \\7a + 8b + 9c = 0\end{cases}$

消元法：

1. 用第二个方程减第一个方程：
   $(7a + 8b + 9c) - (4a + 5b + 6c) = 0 \implies 3a + 3b + 3c = 0 \implies a + b + c = 0$
2. 代入 $c = -a - b$ 到第一个方程：
   $4a + 5b + 6(-a - b) = 0 \implies -2a - b = 0 \implies b = -2a$
3. 代入 $b = -2a$ 得 $c = -a - (-2a) = a$，故方向向量为：
   $\vec{v} = (a, -2a, a) = a(1, -2, 1)$
   取 $a = 1$，得 $\vec{v} = (1, -2, 1)$。

步骤4：写出直线方程

利用点向式方程：
$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 3}{1}$