6.求下列各极限:-|||-(1) lim _((x,y)arrow (0,1))dfrac (1-xy)({x)^2+(y)^2} ;-|||-(3) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (2-sqrt {xy+4)}(xy) :-|||-(5) lim _((x,y)arrow (2,0))dfrac (tan (xy))(y) =-|||-(2) lim _((x,y)arrow (1,0))dfrac (ln (x+{e)^y)}(sqrt {{x)^2+(y)^2}} :-|||-(4) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (xy)(sqrt {2-{e)^xy}-1} :-|||-(6) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (1-cos ({x)^2+(y)^2)}(({x)^2+(y)^2)(e)^(x^2{y)^2}}

题目考察知识

本题主要考察二元函数极限的计算，涉及直接代入法、有理化、等价无穷小替换等方法。

各小题解题思路及步骤

(1) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,1)}\dfrac {1-xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$

思路：函数在点$(0,1)$处连续，可直接代入$x=0,y=1$计算。
计算：
$\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{1-xy}{x^2+y^2}=\frac{1-0\cdot1}{0^2+1^2}=\frac{1}{1}=1$

(2) $\lim _{(x,y)\rightarrow (1,0)}\dfrac {\ln (x+{e}^{y})}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}$

思路：函数在点$(1,0)$处连续，直接代入$x=1,y=0$。
计算：
$\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{\ln(x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\ln(1+e^0)}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{\ln2}{1}=\ln2$

(3) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {2-\sqrt {xy+4}}{xy}$

思路：分母为$xy$，分子含根号，采用分子有理化（乘以共轭根式）消去根号。
计算：
$\begin{align*}\text{原式}&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(2-\sqrt{xy+4})(2+\sqrt{xy+4})}{xy(2+\sqrt{xy+4})}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{4-(xy+4)}{xy(2+\sqrt{xy+4})}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-xy}{xy(2+\sqrt\)}\\quad(xy\neq0)\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-1}{2+\sqrt{xy+4}}=\frac{-1}{2+2}=-\frac{1}{4}\end{align*}$

(4) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {xy}{\sqrt {2-{e}^{xy}}-1}$

思路：分母含根号，分子有理化，且利用等价无穷小$1-e^u\sim -u$（$u\to0$）。
计算：
$\begin{align*}\text{原式}&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)}{(\sqrt{2-e^{xy}}-1)(\sqrt{2-e^{xy}}+1)}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)}{2-e^{xy}-1}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)}{1-e^{xy}}\\&\xlongequal{1-e^{xy}\sim -xy}\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy(\sqrt{2-e^{xy}}+1)}{-xy}=-(\sqrt{2-1}+1)=-2\end{align*}$

(5) $\lim _{(x,y)\rightarrow (2,0)}\dfrac {\tan (xy)}{y}$

思路：利用等价无穷小$\tan u\sim u$（$u\to0$），且$xy\to0$（$x\to2,y\to0$）。
计算：
$\begin{align*}\text{原式}&=\lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{\tan(xy)}{y}\xlongequal{\tan(xy)\sim xy}\lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{xy}{y}\\&=\lim_{(x,y)\to(2,0)}x=2\end{align*}$

(6) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {1-\cos ({x}^{2}+{y}^{2})}{({x}^{2}+{y}^{2}){e}^{{x}^{2}{y}^{2}}}$

思路：利用等价无穷小$1-\cos u\sim\frac{1}{2}u^2$（$u\to0$），令$u=x^2+y^2\to0$。
计算xu=x^2+y^2\to0$：
$\begin{align*}\text{原式}&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{1}{2}(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)e^{x^2y^2}}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\frac{1}{2}(x^2+y^2)}{e^{x^2y^2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{0}{e^0}=0\end{align*}$