题目
四、证明题和应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、设x<1，证明不等式e^x>ex
四、证明题和应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21、设x<1，证明不等式e^{x}>ex
题目解答
答案
为了证明当 $ x < 1 $ 时，不等式 $ e^x > ex $ 成立，我们可以考虑定义一个函数，然后分析其性质。令函数 $ f(x) = e^x - ex $。我们需要证明对于 $ x < 1 $，有 $ f(x) > 0 $。
首先，我们找到 $ f(x) $ 的导数：
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - ex) = e^x - e.
\]
接下来，我们确定临界点，即 $ f'(x) = 0 $ 的点：
\[
e^x - e = 0 \implies e^x = e \implies x = 1.
\]
由于 $ x = 1 $ 是一个临界点，我们分析 $ f'(x) $ 在 $ x < 1 $ 时的符号。对于 $ x < 1 $，有 $ e^x < e $，因此 $ f'(x) = e^x - e < 0 $。这意味着 $ f(x) $ 在 $ x < 1 $ 时是递减的。
现在，我们计算 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处的值：
\[
f(1) = e^1 - e \cdot 1 = e - e = 0.
\]
由于 $ f(x) $ 在 $ x < 1 $ 时是递减的，且 $ f(1) = 0 $，可以得出对于 $ x < 1 $，有 $ f(x) > 0 $。因此，对于 $ x < 1 $，有 $ e^x - ex > 0 $，或者说，$ e^x > ex $。
Thus, the proof is complete:
\[
\boxed{e^x > ex}
\]
解析
考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性来证明不等式的方法，需要学生掌握构造辅助函数、求导、分析临界点及函数增减性的能力。
解题核心思路：
- 构造辅助函数：将不等式变形为$f(x) = e^x - ex$，转化为证明$f(x) > 0$。
- 求导分析单调性：通过求导确定函数的增减趋势，找到临界点$x=1$。
- 结合端点值判断符号：利用函数在临界点处的值$f(1)=0$，结合单调性推导$x<1$时$f(x)$的符号。
破题关键点：
- 导数的符号决定函数单调性：当$x<1$时，$f'(x) < 0$，说明函数递减。
- 临界点与端点值的关系：函数在$x=1$处值为0，递减趋势下$x<1$时函数值必然大于0。
步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(x) = e^x - ex$，需证明当$x < 1$时$f(x) > 0$。
步骤2：求导分析单调性
计算导数：
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - ex) = e^x - e.$
步骤3：确定临界点
令$f'(x) = 0$，解得：
$e^x - e = 0 \implies x = 1.$
步骤4：分析导数符号
- 当$x < 1$时，$e^x < e$，因此$f'(x) = e^x - e < 0$，说明$f(x)$在$x < 1$时单调递减。
步骤5：计算临界点函数值
$f(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0.$
步骤6：结合单调性与端点值判断
- 因为$f(x)$在$x < 1$时递减，且$f(1) = 0$，所以当$x < 1$时，$f(x)$的值始终大于$f(1)$，即：
$f(x) > 0 \quad \text{当} \quad x < 1.$
结论：
当$x < 1$时，$e^x - ex > 0$，即$e^x > ex$。