1.单选题函数f(x)=x^3-3x^2+2的极小值点为（）A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3

本题考查利用导数求函数的极值点。解题思路是先对函数求导，再找出导数为零的点，这些点即为函数的驻点，然后通过判断驻点左右两侧导数的正负来确定函数的单调性，进而找出极小值点。

步骤一：求函数$f(x)$的导数$f^\prime(x)$

已知函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$f(x)$求导可得：
$f^\prime(x)=(x^{3}-3x^{2}+2)^\prime=(x^{3})^\prime-(3x^{2})^\prime+(2)^\prime=3x^{2}-6x$

步骤二：求函数$f(x)$的驻点

令$f^\prime(x)=0$，即$3x^{2}-6x = 0$，提取公因式$3x$可得$3x(x - 2)=0$。
则$3x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$，所以函数$f(x)$的驻点为$x = 0$和$x = 2$。

步骤三：判断驻点左右两侧导数的正负，确定函数的单调性

• 当$x\lt0$时，取$x = -1$，则$f^\prime(-1)=3\times(-1)^{2}-6\times(-1)=3 + 6 = 9\gt0$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增。
• 当$0\lt x\lt2$时，取$x = 1$，则$f^\prime(1)=3\times1^{2}-6\times1=3 - 6 = -3\lt0$，所以$f(x)$在$(0,2)$上单调递减。
• 当$x\gt2$时，取$x = 3$，则$f^\prime(3)=3\times3^{2}-6\times3=27 - 18 = 9\gt0$，所以$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。

步骤四：确定极小值点

根据函数单调性可知，$f(x)$在$x = 0$左侧单调递增，右侧单调递减，所以$x = 0$是极大值点；$f(x)$在$x = 2$左侧单调递减，右侧单调递增，所以$x = 2$是极小值点。