题目
[题目]-|||-14.设 in R, 过定点A的动直线 x+my+1=0 和过-|||-定点B的动直线 mx-y-2m+3=0 交于点P(x,y ),-|||-则 |PA|+|PB| 的最大值.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查直线恒过定点的求解、直线垂直的判定，以及利用不等式求最值的方法。
解题核心思路：
- 确定定点坐标：将两条动直线方程整理为关于参数$m$的形式，找到恒过的定点$A$和$B$。
- 分析几何关系：通过直线斜率乘积为$-1$，证明两条直线始终垂直，进而得到$|PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2$。
- 应用不等式求最值：利用均值不等式或代数变形，将$|PA| + |PB|$的最大值转化为已知条件下的极值问题。
破题关键点：
- 定点求解：通过整理方程，分离参数$m$，确定定点坐标。
- 垂直关系：通过斜率乘积验证直线垂直，建立$|PA|$与$|PB|$的平方和关系。
- 不等式应用：将$|PA| + |PB|$的平方展开，结合均值不等式求最大值。
1. 确定定点坐标
- 直线$x + my + 1 = 0$：整理为$my = -(x + 1)$，无论$m$取何值，当$x = -1$，$y = 0$时方程恒成立，故定点$A(-1, 0)$。
- 直线$mx - y - 2m + 3 = 0$：整理为$m(x - 2) = y - 3$，无论$m$取何值，当$x = 2$，$y = 3$时方程恒成立，故定点$B(2, 3)$。
2. 分析直线垂直关系
- 第一条直线斜率：$y = -\frac{1}{m}x - \frac{1}{m}$，斜率为$-\frac{1}{m}$。
- 第二条直线斜率：$y = mx - 2m + 3$，斜率为$m$。
- 垂直判定：斜率乘积为$-\frac{1}{m} \cdot m = -1$，故两条直线始终垂直。
3. 建立几何关系
- 距离公式：$|AB| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，故$|AB|^2 = 18$。
- 勾股定理：因$PA \perp PB$，故$|PA|^2 + |PB|^2 = |AB|^2 = 18$。
4. 求$|PA| + |PB|$的最大值
- 平方展开：$(|PA| + |PB|)^2 = |PA|^2 + 2|PA||PB| + |PB|^2 = 18 + 2|PA||PB|$。
- 均值不等式：$|PA||PB| \leq \frac{(|PA| + |PB|)^2}{4}$，代入得：
$(|PA| + |PB|)^2 \leq 18 + \frac{(|PA| + |PB|)^2}{2}$
整理得：$(|PA| + |PB|)^2 \leq 36$，即$|PA| + |PB| \leq 6$。 - 取等条件：当且仅当$|PA| = |PB|$时，等号成立。