曲线 =(e)^dfrac (1{x)} 的垂直渐近线为 (). ()-|||-A x=0-|||-B y=0-|||-C x=1-|||-D 无垂直渐近线

本题考查曲线垂直渐近线的知识点。解题思路是根据垂直渐近线的定义来确定曲线$y = e^{\frac{1}{x}}$的垂直渐近线。垂直渐近线的定义为：若$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \infty$或$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \infty$，则直线$x = x_0$为曲线$y = f(x)$的垂直渐近线。

下面我们来分析函数$y = e^{\frac{1}{x}}$在不同点处的极限情况：

• 分析$x = 0$处的极限：
  • 当$x\to 0^+$时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，根据指数函数的性质，$y = e^u$在$u\to +\infty$时，$y\to +\infty$，即$\lim\limits_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$。
  • 当$x\to 0^-$时，$\frac{1}{x}\to -\infty$，根据指数函数的性质，$y = e^u$在$u\to -\infty$时，$y\to 0$，即$\lim\limits_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$。
  • 由于$\lim\limits_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$，满足垂直渐近线的定义，所以$x = 0$是曲线$y = e^{\frac{1}{x}}$的垂直渐近线。
• 分析其他点处的极限：
  • 对于任意$x_0\neq 0$，函数$y = e^{\frac{1}{x}}$在$x = x_0$处连续，$\lim\limits_{x \to x_0} e^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x_0}}$为有限值，不满足垂直渐近线的定义，所以除$x = 0$外，不存在其他垂直渐近线。