题目
(2)试写出四阶行列式的展开式中含因子a_(13)a_(32)的项；
(2)试写出四阶行列式的展开式中含因子$a_{13}a_{32}$的项；
题目解答
答案
四阶行列式展开式中含因子 $a_{13}a_{32}$ 的项，需满足 $\sigma(1) = 3$ 和 $\sigma(3) = 2$。剩余元素 $\sigma(2)$ 和 $\sigma(4)$ 可为 $1$ 和 $4$ 的排列，即 $(1, 4)$ 或 $(4, 1)$。
- 对于 $\sigma = (3, 1, 2, 4)$，逆序数为 $2$（偶排列），符号为 $+1$，对应项为 $a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}$。
- 对于 $\sigma = (3, 4, 2, 1)$，逆序数为 $5$（奇排列），符号为 $-1$，对应项为 $-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}$。
答案：
$\boxed{a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} \text{ 和 } -a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}}$
（或写成 $\boxed{a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} - a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}}$）
解析
考查要点：本题主要考查四阶行列式展开式的项构成规律，涉及排列、逆序数及符号的确定。
解题核心思路：
- 确定固定元素的位置：根据题目要求的因子$a_{13}a_{32}$，确定排列$\sigma$中$\sigma(1)=3$和$\sigma(3)=2$。
- 补充剩余排列：剩余列位置（第2、4列）需从未被占用的列（第1、4列）中选择，形成合法排列。
- 计算逆序数与符号：根据排列的逆序数奇偶性确定项的符号。
破题关键点：
- 排列的唯一性：固定$\sigma(1)=3$和$\sigma(3)=2$后，剩余位置的排列仅剩两种可能。
- 逆序数计算：通过逐项比较确定排列的逆序数，进而确定符号。
步骤1：确定排列的基本结构
- 因子$a_{13}$要求$\sigma(1)=3$（第1行第3列）。
- 因子$a_{32}$要求$\sigma(3)=2$（第3行第2列）。
- 剩余位置$\sigma(2)$和$\sigma(4)$需从未被占用的列（第1、4列）中选择，形成排列。
步骤2：列出剩余排列的可能
- 情况1：$\sigma(2)=1$，$\sigma(4)=4$，对应排列$\sigma=(3,1,2,4)$。
- 情况2：$\sigma(2)=4$，$\sigma(4)=1$，对应排列$\sigma=(3,4,2,1)$。
步骤3：计算逆序数与符号
- 情况1：排列$(3,1,2,4)$的逆序数为$2$（偶排列），符号为$+1$，对应项为$a_{13}a_{21}a_{32}a_{44}$。
- 情况2：排列$(3,4,2,1)$的逆序数为$5$（奇排列），符号为$-1$，对应项为$-a_{13}a_{24}a_{32}a_{41}$。