已知函数f(x)在点x_(0)处可导，导数值f'(x_(0))为（ ）A. lim_(h to 0) (f(x_(0) + 2h) - f(x_(0)))/(h)B. lim_(h to 0) (f(x_(0) - 3h) - f(x_(0)))/(h)C. lim_(h to 0) (f(x_(0)) - f(x_(0) - h))/(h)D. lim_(h to 0) (f(x_(0)) - f(x_(0) + h))/(h)

我们来逐个分析这四个选项，判断哪一个等于函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数 $ f'(x_0) $。 --- ### **函数在某点的导数定义：** 函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数定义为： $$ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 这是标准的导数定义式。 --- ### **逐个分析选项：** --- #### **A.** $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} $$ 我们可以把分子中的 $ f(x_0 + 2h) - f(x_0) $ 看作是 $ f(x_0 + h') - f(x_0) $，其中 $ h' = 2h $。 令 $ h' = 2h $，则当 $ h \to 0 $ 时，$ h' \to 0 $，且 $ h = \frac{h'}{2} $。 代入得： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h' \to 0} \frac{f(x_0 + h') - f(x_0)}{\frac{h'}{2}} = 2 \lim_{h' \to 0} \frac{f(x_0 + h') - f(x_0)}{h'} = 2f'(x_0) $$ 所以 A 选项等于 $ 2f'(x_0) $，不是导数的定义，**错误**。 --- #### **B.** $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - 3h) - f(x_0)}{h} $$ 令 $ h' = -3h $，则当 $ h \to 0 $ 时，$ h' \to 0 $，且 $ h = -\frac{h'}{3} $。 代入得： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - 3h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h' \to 0} \frac{f(x_0 + h') - f(x_0)}{-\frac{h'}{3}} = -3 \lim_{h' \to 0} \frac{f(x_0 + h') - f(x_0)}{h'} = -3f'(x_0) $$ 所以 B 选项等于 $ -3f'(x_0) $，不是导数的定义，**错误**。 --- #### **C.** $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} $$ 我们把这个式子变形： $$ \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 - (-h)) - f(x_0)}{-(-h)} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 所以这个极限就是： $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0) $$ 所以 C 选项是导数的定义，**正确**。 --- #### **D.** $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 + h)}{h} $$ 这个式子等于： $$ \frac{f(x_0) - f(x_0 + h)}{h} = -\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $$ 所以极限是： $$ -\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = -f'(x_0) $$ 所以 D 选项等于 $ -f'(x_0) $，不是导数的定义，**错误**。 --- ### **结论：** 只有 **C 选项** 是函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数定义。 --- ### **答案：** $$ \boxed{C} $$