用对称式及参数方程表示直线 ) x-y+z=1 2x+y+z=4 .

考查要点：本题主要考查空间直线的对称式方程与参数方程的转换，以及利用两平面法向量求直线方向向量的能力。

解题核心思路：

1. 确定方向向量：通过两平面法向量的叉乘计算直线的方向向量。
2. 验证对称式方程：根据方向向量和已知点，写出直线的对称式方程。
3. 推导参数方程：将对称式方程中的参数统一，转化为参数方程形式，并验证是否过指定点。

破题关键点：

• 叉乘计算：正确计算两法向量的叉乘结果，得到方向向量。
• 方程形式匹配：确保对称式方程中的点和方向向量与选项一致，参数方程需满足初始点条件。

步骤1：计算方向向量

已知两平面法向量 $\overrightarrow{n} = (1, -1, 1)$ 和 $\overrightarrow{m} = (2, 1, 1)$，方向向量 $\overrightarrow{d}$ 为两法向量的叉乘：
$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{m} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & -1 & 1 \\2 & 1 & 1\end{vmatrix} = (-2, 1, 3)$

步骤2：写出对称式方程

直线过点 $(1, 1, 1)$，方向向量为 $(-2, 1, 3)$，对称式方程为：
$\frac{x-1}{-2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{3}$

步骤3：推导参数方程

设公共比值为参数 $t$，则：
$\begin{cases}x - 1 = -2t \\y - 1 = t \\z - 1 = 3t\end{cases} \implies \begin{cases}x = 1 - 2t \\y = 1 + t \\z = 1 + 3t\end{cases}$

步骤4：匹配选项

• 选项C 的对称式方程和参数方程均与推导结果一致。
• 选项A 的参数方程未体现过点 $(1,1,1)$。
• 选项B 为平面方程，非直线方程。
• 选项D 的对称式方程对应点错误。