已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3sqrt(3)和4sqrt(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π

考查要点：本题主要考查正三棱台的外接球表面积计算，涉及空间几何体的性质、球体截面圆半径与球心位置的关系，以及代数方程的求解。

解题核心思路：

1. 确定上下底面外接圆半径：正三棱台的上下底面为正三角形，其外接圆半径可通过边长公式计算。
2. 建立球心到上下底面的距离关系：利用球体截面圆半径与球心到平面距离的关系，结合正三棱台的高，建立方程。
3. 解方程求球半径：通过代数运算求解球半径，最终计算球的表面积。

破题关键点：

• 正三角形外接圆半径公式：边长为$a$的正三角形外接圆半径为$\frac{a}{\sqrt{3}}$。
• 球心到平面距离与截面圆半径的关系：若球半径为$R$，球心到平面距离为$d$，则截面圆半径$r$满足$r = \sqrt{R^2 - d^2}$。
• 几何关系转化：将正三棱台的高转化为球心到上下底面距离之和，建立方程求解。

步骤1：计算上下底面外接圆半径

• 上底面边长为$3\sqrt{3}$，外接圆半径为：
  $r_1 = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$
• 下底面边长为$4\sqrt{3}$，外接圆半径为：
  $r_2 = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$

步骤2：建立球心到上下底面的距离关系

设球半径为$R$，球心到上底面的距离为$d_1$，到下底面的距离为$d_2$，则：
$\begin{cases}r_1 = \sqrt{R^2 - d_1^2} \implies d_1 = \sqrt{R^2 - 3^2} \\r_2 = \sqrt{R^2 - d_2^2} \implies d_2 = \sqrt{R^2 - 4^2}\end{cases}$
由于正三棱台的高为1，球心位于上下底面之间，故：
$d_1 + d_2 = 1$

步骤3：解方程求球半径

将$d_1$和$d_2$代入方程：
$\sqrt{R^2 - 9} + \sqrt{R^2 - 16} = 1$
平方两边并化简：
$2R^2 - 25 + 2\sqrt{(R^2 - 9)(R^2 - 16)} = 1 \implies \sqrt{(R^2 - 9)(R^2 - 16)} = 13 - R^2$
再次平方并解得：
$R^2 = 25 \implies R = 5$

步骤4：计算球的表面积

球的表面积为：
$4\pi R^2 = 4\pi \times 25 = 100\pi$