(24) int dfrac (sqrt {{x)^2-4}}(x)dx

本题考查不定积分的计算，具体为含二次根式$\sqrt{x^2 - a^2}$的积分，通常使用三角换元法求解。

步骤1：选择三角换元

被积函数为$\sqrt{x^2 - 4}$，属于$\sqrt{x{x^2 - a^2}$型（$a=2$），令$x = 2\sec t$（$0 < t < \frac{\pi}{2}$或$\frac{\pi}{2} < t < \pi$），则：
$dx = 2\sec t \tan t dt$
$\sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{4\sec^2 t - 4} = 2\tan t$

步骤2：代入积分化简

$\int \sqrt{x^2 - 4}dx = \int 2\tan t \cdot 2\sec t \tan t dt = 4\int \tan^2 t \sec t dt$
利用$\tan^2 t = \sec^2 t - 1$，拆分： $= 4\int (\sec^3 t - \sec t)dt$

步骤3：计算$\int \sec^3 t dt$（分部积分）

设$u = \sec t$，$dv = \{sec t dt$，则$du = \sec t \tan t dt$，$v = \tan t$： $\int \sec^3 t dt = \sec t \tan t - \int \sec t \tan^2 t dt$
$= \tan^2 t = \sec^2 t - 1\)，得：\[ \int \sec^3 t dt = \sec t \tan t - \int \sec^3 t dt + \int \sec t dt$
移项解得： $\int \sec^3 t dt = \frac{1}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|$

步骤4：合并结果

$4\int (\sec^3 t - \sec t)dt = 4\left[ \frac{1}{2}(\sec t \tan t + \ln|\sec t + \tan t|) - \ln|\sec t + \tan t|\right) + C$
化简： $= 2\sec t \tan t - 2\ln|\sec t + \tan t| + C$

步骤5：回代$x = 2\sec t$

$\sec t = \frac{x}{2}$，$\tan t = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{2}$，代入得： $\int \sqrt{x^2 - 4}dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 - 4} - 2\ln\left|x + \sqrt{x^2 -4}\right| + C$