求过平面 _(1):2x-3y-z+1=0 与平面 _(2):x+y+z=0 的交线且与π2垂直的-|||-平面的方程.

考查要点：本题主要考查平面交线的方向向量求法、平面法向量的确定，以及两平面垂直的条件。
解题核心思路：

1. 确定交线方向向量：两平面的法向量叉乘即为交线方向向量。
2. 确定所求平面法向量：所求平面需与给定平面垂直，故法向量需满足点积为零；同时，法向量需垂直于交线方向向量。
3. 利用平面束方程：过交线的所有平面可表示为原两平面的线性组合，通过垂直条件确定参数。

解法一：法向量叉乘法

1. 求交线方向向量：
   平面 $T_1$ 法向量 $\overrightarrow{n}_1 = (2, -3, -1)$，平面 $\pi_2$ 法向量 $\overrightarrow{n}_2 = (1, 1, 1)$。
   交线方向向量 $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{n}_1 \times \overrightarrow{n}_2 = (-2, -3, 5)$。

2. 求所求平面法向量：
   所求平面需与 $\pi_2$ 垂直，故法向量 $\overrightarrow{n}$ 需同时垂直于 $\overrightarrow{m}$ 和 $\overrightarrow{n}_2$，即：
   $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{m} \times \overrightarrow{n}_2 = (-8, 7, 1).$

3. 确定平面上的点：
   在交线上取点 $(0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$（令 $x=0$，解联立方程组）。

4. 写平面方程：
   代入点法式方程：
   $-8(x-0) + 7\left(y - \frac{1}{2}\right) + (z + \frac{1}{2}) = 0,$
   整理得：
   $8x - 7y - z + 3 = 0.$

解法二：平面束方程法

1. 设平面束方程：
   过交线的平面可表示为：
   $(2x - 3y - z + 1) + \lambda(x + y + z) = 0,$
   整理为：
   $(2 + \lambda)x + (\lambda - 3)y + (\lambda - 1)z + 1 = 0.$

2. 垂直条件：
   所求平面与 $\pi_2$ 垂直，故法向量点积为零：
   $(2 + \lambda) + (\lambda - 3) + (\lambda - 1) = 0,$
   解得 $\lambda = \frac{2}{3}$。

3. 代入求方程：
   代入 $\lambda = \frac{2}{3}$，整理得：
   $8x - 7y - z + 3 = 0.$