函数 =5x(y)^2 在点(1,2)沿 overrightarrow (l)=(3,4) 方向的方向导数是

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $z=5x{y}^{2}$ 在点(1,2)处的偏导数。偏导数 ${z}_{x}$ 和 ${z}_{y}$ 分别表示函数关于 $x$ 和 $y$ 的变化率。
- ${z}_{x}=5{y}^{2}$
- ${z}_{y}=10xy$

步骤 2：代入点(1,2)
将点(1,2)代入偏导数中，得到：
- ${z}_{x}(1,2)=5\times {2}^{2}=20$
- ${z}_{y}(1,2)=10\times 1\times 2=20$

步骤 3：单位化方向向量
方向向量 $\overrightarrow {l}=(3,4)$ 需要单位化，以确保方向导数的计算是基于单位方向向量的。单位化后的向量 $\overrightarrow {{e}_{l}}$ 为：
- $|\overrightarrow {l}|=\sqrt {{3}^{2}+{4}^{2}}=5$
- $\overrightarrow {{e}_{l}}=\dfrac {\overrightarrow {l}}{|\overrightarrow {l}|}=(\dfrac {3}{5},\dfrac {4}{5})$

步骤 4：计算方向导数
根据方向导数的计算公式，函数在点(1,2)沿 $\overrightarrow {l}$ 方向的方向导数为：
- $\dfrac {\partial z}{\partial \overrightarrow {l}}={z}_{x}(1,2)\times \dfrac {3}{5}+{z}_{y}(1,2)\times \dfrac {4}{5}$
- $\dfrac {\partial z}{\partial \overrightarrow {l}}=20\times \dfrac {3}{5}+20\times \dfrac {4}{5}=12+16=28$