题目
1.求下列幂级数的收敛区间:-|||-(7) sum _(n=1)^infty dfrac (2n-1)({2)^n}(x)^2n-2 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的形式
幂级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$，这是一个缺项的幂级数，因为幂次为 $2n-2$，即幂次为偶数。
步骤 2：确定收敛半径
为了确定收敛半径，我们使用比值判别法。令 $a_n = \dfrac {2n-1}{{2}^{n}}$，则
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {2(n+1)-1}{{2}^{n+1}}}{\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2n+1}{2n-1} \cdot \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}.
$$
因此，收敛半径 $R = \dfrac {1}{\dfrac {1}{2}} = 2$。
步骤 3：确定收敛区间
由于幂级数的幂次为 $2n-2$，即幂次为偶数，因此收敛区间为 $(-\sqrt {2},\sqrt {2})$。
幂级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}{x}^{2n-2}$，这是一个缺项的幂级数，因为幂次为 $2n-2$，即幂次为偶数。
步骤 2：确定收敛半径
为了确定收敛半径，我们使用比值判别法。令 $a_n = \dfrac {2n-1}{{2}^{n}}$，则
$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {|{a}_{n+1}|}{|{a}_{n}|} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {2(n+1)-1}{{2}^{n+1}}}{\dfrac {2n-1}{{2}^{n}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {2n+1}{2n-1} \cdot \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{2}.
$$
因此，收敛半径 $R = \dfrac {1}{\dfrac {1}{2}} = 2$。
步骤 3：确定收敛区间
由于幂级数的幂次为 $2n-2$，即幂次为偶数，因此收敛区间为 $(-\sqrt {2},\sqrt {2})$。