利用函数的奇偶性计算定积分 int_(-1)^1 x^3 sin^2 x , dx = ( ).A. -1B. 1C. 2D. 0

本题考查定积分的性质以及函数奇偶性的判断与应用。解题的关键思路是先判断被积函数的奇偶性，再根据定积分在对称区间上对于奇偶函数的性质来计算定积分的值。

步骤一：判断被积函数的奇偶性

设$f(x)=x^3\sin^2 x$，其定义域为$R$，关于原点对称。
根据奇函数和偶函数的定义：若$f(-x)=f(x)$，则函数$f(x)$为偶函数；若$f(-x)= -f(x)$，则函数$f(x)$为奇函数。
计算$f(-x)$：
$f(-x)=(-x)^3\sin^2 (-x)$
根据幂的运算法则$(-a)^n$，当$n$为奇数时$(-a)^n=-a^n$，可得$(-x)^3=-x^3$；
根据正弦函数的性质$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，则$\sin^2 (-x)=(-\sin x)^2=\sin^2 x$。
所以$f(-x)=(-x)^3\sin^2 (-x)= -x^3\sin^2 x=-f(x)$，因此函数$f(x)=x^3\sin^2 x$是奇函数。

步骤二：利用定积分性质计算定积分

根据定积分的性质：若函数$f(x)$在关于原点对称的区间$[-a,a]$上连续，且$f(x)$为奇函数，则$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
在本题中，$a = 1$，被积函数$f(x)=x^3\sin^2 x$是奇函数，积分区间为$[-1,1]$，所以$\int_{-1}^{1} x^3 \sin^2 x \, dx = 0$。