题目
设向量=(1,2,-1,1)，=(1,2,-1,1)，求=(1,2,-1,1)的长度及它们的夹角。
设向量
，
，求
的长度及它们的夹角。
题目解答
答案
根据向量长度的定义可得：
向量
的长度为
向量
的长度为
向量的夹角为
解析
步骤 1：计算向量$\alpha$的长度
向量$\alpha$的长度可以通过计算其各分量的平方和的平方根来得到。对于向量$\alpha = (1, 2, -1, 1)$，其长度$||\alpha||$为：
$$||\alpha|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 1^2}$$
步骤 2：计算向量$\beta$的长度
向量$\beta$的长度同样通过计算其各分量的平方和的平方根来得到。对于向量$\beta = (2, 3, 1, -1)$，其长度$||\beta||$为：
$$||\beta|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2 + (-1)^2}$$
步骤 3：计算向量$\alpha$和$\beta$的夹角
向量$\alpha$和$\beta$的夹角$\theta$可以通过它们的点积除以它们的长度的乘积来计算，然后取反余弦值。点积$(\alpha, \beta)$为：
$$(\alpha, \beta) = 1*2 + 2*3 + (-1)*1 + 1*(-1)$$
夹角$\theta$为：
$$\theta = \arccos\left(\frac{(\alpha, \beta)}{||\alpha|| ||\beta||}\right)$$
向量$\alpha$的长度可以通过计算其各分量的平方和的平方根来得到。对于向量$\alpha = (1, 2, -1, 1)$，其长度$||\alpha||$为：
$$||\alpha|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 1^2}$$
步骤 2：计算向量$\beta$的长度
向量$\beta$的长度同样通过计算其各分量的平方和的平方根来得到。对于向量$\beta = (2, 3, 1, -1)$，其长度$||\beta||$为：
$$||\beta|| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2 + (-1)^2}$$
步骤 3：计算向量$\alpha$和$\beta$的夹角
向量$\alpha$和$\beta$的夹角$\theta$可以通过它们的点积除以它们的长度的乘积来计算，然后取反余弦值。点积$(\alpha, \beta)$为：
$$(\alpha, \beta) = 1*2 + 2*3 + (-1)*1 + 1*(-1)$$
夹角$\theta$为：
$$\theta = \arccos\left(\frac{(\alpha, \beta)}{||\alpha|| ||\beta||}\right)$$