6.(1)设随机变量X的概率密度为 (x),-infty lt xlt infty , 求 =(X)^3 的概率密度.-|||-(2)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) (e)^-x, xgt 0 0, 的概率密度.

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，涉及分布函数法和变量变换法的应用。

解题核心思路：

1. 确定函数单调性：若函数严格单调，可直接求反函数并利用导数公式；若非单调，需分情况讨论。
2. 分布函数法：通过求分布函数 $F_Y(y) = P(Y \leq y)$，再对 $y$ 求导得到概率密度。
3. 变量变换公式：若 $Y = g(X)$ 是单调可导函数，则 $f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$。

破题关键点：

• 第（1）题：$Y = X^3$ 在全体实数上严格单调递增，可直接应用变量变换公式。
• 第（2）题：$Y = X^2$ 非单调，但原变量 $X$ 的密度在 $x \leq 0$ 时为 $0$，只需考虑正根 $X = \sqrt{Y}$。

第（1）题

分布函数法

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^3 \leq y) = P(X \leq y^{1/3}) = F_X(y^{1/3})$。

求导得概率密度

对 $F_Y(y)$ 求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_X(y^{1/3}) = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{d}{dy} y^{1/3} = f_X(y^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} y^{-2/3}.$

结果整理

最终概率密度为：
$f_Y(y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} f_X(\sqrt[3]{y}), \quad y \neq 0.$

第（2）题

分布函数法

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})$。
由于 $f_X(x) = 0$ 当 $x \leq 0$，故：
$F_Y(y) = \int_{0}^{\sqrt{y}} e^{-x} \, dx, \quad y > 0.$

求导得概率密度

对 $F_Y(y)$ 求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \left[ \int_{0}^{\sqrt{y}} e^{-x} \, dx \right] = e^{-\sqrt{y}} \cdot \frac{d}{dy} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, \quad y > 0.$

结果整理

最终概率密度为：
$f_Y(y) = \begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y > 0, \\0, & y \leq 0.\end{cases}$