设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X−Y不相关的充分必要条件为  (   )。  A. E(X)=E(Y)B. E(X^2)−[E(X)]^2=E(Y^2)−[E(Y)]^2C. E(X^2)=E(Y^2)D. E(X^2)+[E(X)]^2=E(Y^2)+[E(Y)]^2

考查要点：本题主要考查二维正态分布下随机变量不相关的条件，涉及协方差的计算及方差的关系。

解题核心思路：

• 不相关的充要条件是协方差为零，即$\text{Cov}(\xi, \eta) = 0$。
• 通过展开协方差表达式，结合方差的定义，推导出$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$，即$E(X^2) - [E(X)]^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2$。

破题关键点：

• 协方差展开：将$\xi = X+Y$和$\eta = X-Y$代入协方差公式，展开并化简。
• 方差关系：最终条件转化为$X$和$Y$的方差相等，而非期望或原矩的直接关系。

步骤1：计算协方差
协方差定义为：
$\text{Cov}(\xi, \eta) = E[\xi \eta] - E[\xi] E[\eta]$
将$\xi = X+Y$和$\eta = X-Y$代入：
$\begin{aligned}\xi \eta &= (X+Y)(X-Y) = X^2 - Y^2, \\E[\xi \eta] &= E[X^2 - Y^2] = E[X^2] - E[Y^2], \\E[\xi] &= E[X+Y] = E[X] + E[Y], \\E[\eta] &= E[X-Y] = E[X] - E[Y], \\E[\xi] E[\eta] &= (E[X] + E[Y])(E[X] - E[Y]) = [E(X)]^2 - [E(Y)]^2.\end{aligned}$

步骤2：化简协方差表达式
将上述结果代入协方差公式：
$\begin{aligned}\text{Cov}(\xi, \eta) &= (E[X^2] - E[Y^2]) - ([E(X)]^2 - [E(Y)]^2) \\&= (E[X^2] - [E(X)]^2) - (E[Y^2] - [E(Y)]^2) \\&= \text{Var}(X) - \text{Var}(Y).\end{aligned}$

步骤3：确定不相关条件
当且仅当$\text{Cov}(\xi, \eta) = 0$时，$\xi$与$\eta$不相关，即：
$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) \quad \Rightarrow \quad E(X^2) - [E(X)]^2 = E(Y^2) - [E(Y)]^2.$

选项分析：

• 选项B直接对应$\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$，是正确答案。
• 其他选项（如A、C、D）无法直接推出方差相等的条件。