题目
填空题（共6题，18.0分）6.（3.0分）【填空题】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=____。
填空题（共6题，18.0分）
6.（3.0分）【填空题】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=____。
题目解答
答案
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。
已知 $P(X=1) = P(X=2)$，代入得：
\[
\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}
\]
消去 $e^{-\lambda}$（$\lambda \neq 0$）：
\[
\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \implies \lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0
\]
解得 $\lambda = 0$（舍）或 $\lambda = 2$。
**答案：** $\boxed{2}$
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
题目条件是 $P(X=1) = P(X=2)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到 $\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$。
步骤 3：解方程求解 $\lambda$
化简方程 $\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$，消去 $e^{-\lambda}$（$\lambda \neq 0$），得到 $\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$，进一步化简得到 $\lambda^2 - 2\lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 2) = 0$。解得 $\lambda = 0$（舍去）或 $\lambda = 2$。
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
题目条件是 $P(X=1) = P(X=2)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到 $\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$。
步骤 3：解方程求解 $\lambda$
化简方程 $\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2}$，消去 $e^{-\lambda}$（$\lambda \neq 0$），得到 $\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$，进一步化简得到 $\lambda^2 - 2\lambda = 0$，即 $\lambda(\lambda - 2) = 0$。解得 $\lambda = 0$（舍去）或 $\lambda = 2$。