8.验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在整个xOy平面内是某一函数u(x,y)的全微分,并-|||-求这样的一个u(x,y):-|||-(2) +(x)^2dy;

考查要点：本题主要考查全微分的判定条件及全微分函数的求解方法。
解题思路：

1. 验证全微分存在性：根据全微分存在的条件，即 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，判断给定微分形式是否为某一函数的全微分。
2. 求解全微分函数：通过两次积分（先对$x$积分，再对$y$积分，或反之）确定函数$u(x,y)$，并消去积分常数。

验证全微分存在性

给定微分形式为 $2xy \, dx + x^2 \, dy$，其中 $P = 2xy$，$Q = x^2$。

1. 计算偏导数：
   • $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x$
   • $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x$
2. 比较偏导数：
   $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$，满足全微分存在性条件，因此该微分形式是某一函数$u(x,y)$的全微分。

求解全微分函数$u(x,y)$

方法：从原点$(0,0)$出发沿坐标轴积分。

1. 沿$x$轴积分：
   固定$y=0$，积分$P$对$x$：
   $\int_{0}^{x} 2t \cdot 0 \, dt = 0$
2. 沿$y$轴积分：
   固定$x$，积分$Q$对$y$：
   $\int_{0}^{y} x^2 \, dy = x^2 y$
3. 合并结果：
   两次积分结果相加，得 $u(x,y) = x^2 y$。