题目

设f"(x)存在,求下列函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}-|||-(1) =f((x)^2);-|||-(2) =ln [ f(x)] .

题目解答

考查要点：本题主要考查复合函数和对数函数的高阶导数计算，涉及链式法则、乘积法则及商的导数法则。

解题思路：

复合函数求导：对于形如$y=f(g(x))$的函数，一阶导数使用链式法则，二阶导数需结合乘积法则和链式法则。
对数函数求导：对数函数$\ln[f(x)]$的一阶导数为$\frac{f'(x)}{f(x)}$，二阶导数需用商的导数法则，注意分子中涉及$f'(x)$的平方项。

(1) $y = f(x^2)$

求一阶导数

根据链式法则，外层函数$f(u)$的导数为$f'(u)$，内层函数$u = x^2$的导数为$2x$，因此：
$y' = f'(x^2) \cdot 2x = 2x f'(x^2)$

求二阶导数

对$y' = 2x f'(x^2)$使用乘积法则：

第一项$2x$的导数为$2$；
第二项$f'(x^2)$的导数需再次使用链式法则：$f''(x^2) \cdot 2x$；
因此：
$y'' = 2 \cdot f'(x^2) + 2x \cdot \left( f''(x^2) \cdot 2x \right) = 2f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)$

(2) $y = \ln[f(x)]$

求一阶导数

根据对数函数导数公式：
$y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

求二阶导数

对$y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$使用商的导数法则：