曲线 y = 3x^4 - 4x^3 + 1 的凹凸区间是（ ）。A. 凹的区间 [0, (2)/(3)] 和 ((2)/(3), +infty)，凸的区间 (-infty, 0]B. 凹的区间 (-infty, 0] 和 [(2)/(3), +infty)，凸的区间 [0, (2)/(3)]C. 凹的区间 (-infty, 0]，凸的区间 (0, +infty)；D. 凹的区间 (0, +infty)，凸的区间 (-infty, 0]

本题考查利用函数的二阶导数来确定曲线的凹凸区间。解题的关键思路是先求出函数的二阶导数，再令二阶导数等于零，求出可能的拐点，最后根据二阶导数在不同区间的正负来判断曲线的凹凸性。

1. 求函数$y = 3x^4 - 4x^3 + 1$的一阶导数$y'$：
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$y = 3x^4 - 4x^3 + 1$求导可得：
   $y^\prime=(3x^4 - 4x^3 + 1)^\prime=3\times4x^{4 - 1}-4\times3x^{3 - 1}+0=12x^3 - 12x^2$
2. 求函数$y$的二阶导数$y''$：
   对$y^\prime=12x^3 - 12x^2$再次求导，可得：
   $y^{\prime\prime}=(12x^3 - 12x^2)^\prime=12\times3x^{3 - 1}-12\times2x^{2 - 1}=36x^2 - 24x$
3. 求二阶导数$y''$的零点：
   令$y^{\prime\prime}=0$，即$36x^2 - 24x = 0$，提取公因式$12x$可得：
   $12x(3x - 2)=0$
   则$12x = 0$或$3x - 2 = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{2}{3}$。
4. 根据二阶导数的零点划分区间并判断凹凸性：
   这两个零点将定义域$(-\infty, +\infty)$划分为三个区间$(-\infty, 0)$，$(0, \frac{2}{3})$，$(\frac{2}{3}, +\infty)$。
   • 当$x\in(-\infty, 0)$时，取$x = -1$，代入$y^{\prime\prime}=36x^2 - 24x$可得：
     $y^{\prime\prime}=36\times(-1)^2 - 24\times(-1)=36 + 24 = 60>0$
     所以在区间$(-\infty, 0)$上，曲线是凹的。
   • 当$x\in(0, \frac{2}{3})$时，取$x = \frac{1}{3}$，代入$y^{\prime\prime}=36x^2 - 24x$可得：
     $y^{\prime\prime}=36\times(\frac{1}{3})^2 - 24\times\frac{1}{3}=4 - 8 = -4<0$
     所以在区间$(0, \frac{2}{3})$上，曲线是凸的。
   • 当$x\in(\frac{2}{3}, +\infty)$时，取$x = 1$，代入$y^{\prime\prime}=36x^2 - 24x$可得：
     $y^{\prime\prime}=36\times1^2 - 24\times1=36 - 24 = 12>0$
     所以在区间$(\frac{2}{3}, +\infty)$上，曲线是凹的。
5. 确定凹凸区间：
   因为函数在$x = 0$和$x = \frac{2}{3}$处二阶导数为$0$，且在这两点两侧凹凸性发生改变，所以曲线的凹区间为$(-\infty, 0]$和$[\frac{2}{3}, +\infty)$，凸区间为$[0, \frac{2}{3}]$。