题目
4.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，求至少有两次的观察值大于3的概率.
4.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，求至少有两次的观察值大于3的概率.
题目解答
答案
1. **计算单次观察值大于 3 的概率**：
$X$ 在 $[2, 5]$ 上服从均匀分布，
$P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2}{3}$。
2. **定义二项分布**：
设 $Y$ 为三次观察中大于 3 的次数，
$Y \sim B(3, \frac{2}{3})$。
3. **计算至少两次大于 3 的概率**：
$P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3)$，
$P(Y = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{12}{27}$，
$P(Y = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$，
$P(Y \geq 2) = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$。
**答案**：$\boxed{\frac{20}{27}}$