4.一质量为0.20 kg的质点作简谐振动,其振动方程为 =0.6cos (5t--|||-dfrac (1)(2)pi )(S1) 求:(1)质点的初速度;(2)质点在正向最大位移一半处所受的力。

考查要点：本题主要考查简谐振动的速度计算和回复力的求解，涉及导数运算及简谐振动的动力学关系。

解题思路：

1. 初速度：通过位移对时间求导得到速度表达式，代入初始时刻$t=0$计算。
2. 回复力：利用简谐振动的力公式$F = -kx$，结合角频率$\omega$与弹簧劲度系数$k$的关系$k = m\omega^2$，直接代入位移值计算。

破题关键：

• 速度公式：速度是位移的导数，注意相位对符号的影响。
• 力公式：简谐振动的回复力与位移成正比，比例系数为$m\omega^2$。

第（1）题：初速度的计算

求速度表达式

位移方程为$x = 0.6\cos(5t - \frac{1}{2}\pi)$，对时间求导得速度：
$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -0.6 \cdot 5 \sin(5t - \frac{1}{2}\pi) = -3 \sin(5t - \frac{1}{2}\pi)$

代入$t=0$

初速度$v_0 = v(0) = -3 \sin(-\frac{1}{2}\pi) = -3 \cdot (-1) = 3.0 \, \text{m/s}$。

第（2）题：正向最大位移一半处的力

确定位移值

正向最大位移为振幅$A = 0.6 \, \text{m}$，其一半为$x = 0.3 \, \text{m}$。

计算回复力

根据简谐振动的力公式：
$F = -m\omega^2 x = -0.20 \cdot 5^2 \cdot 0.3 = -0.20 \cdot 25 \cdot 0.3 = -1.5 \, \text{N}$