(d)/(dx) int_(1)^x x ln (x^2 + 1) , dx =

我们来解这道题： 题目是： $$ \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} x \ln (x^2 + 1) \, dx $$ --- ### 第一步：理解题意 这是一个**变上限积分**的导数问题，形式是： $$ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt $$ 在本题中，积分上限是 $ x $，下限是常数 $ 1 $，被积函数是 $ x \ln(x^2 + 1) $，注意这个被积函数中**同时包含变量 $ x $**，所以不能直接使用牛顿-莱布尼兹公式，而应该使用**莱布尼兹积分法则（Leibniz's Rule）**。 --- ### 第二步：使用莱布尼兹积分法则 莱布尼兹法则的公式如下： $$ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \, dt = f(x, b(x)) \cdot b'(x) - f(x, a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x, t) \, dt $$ 在本题中： - $ a(x) = 1 $，所以 $ a'(x) = 0 $ - $ b(x) = x $，所以 $ b'(x) = 1 $ - $ f(x, t) = x \ln(x^2 + 1) $，注意这里被积函数不依赖于 $ t $，只依赖于 $ x $ 所以我们可以代入公式： $$ \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} x \ln(x^2 + 1) \, dx = x \ln(x^2 + 1) \cdot 1 - x \ln(x^2 + 1) \cdot 0 + \int_{1}^{x} \frac{\partial}{\partial x} \left( x \ln(x^2 + 1) \right) dt $$ 观察发现，被积函数不依赖于 $ t $，所以对 $ x $ 求偏导时，$ t $ 可视为常数。我们先计算： $$ \frac{\partial}{\partial x} \left( x \ln(x^2 + 1) \right) = \ln(x^2 + 1) + x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} $$ 所以整个积分变为： $$ \int_{1}^{x} \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right) dt $$ 由于被积函数不依赖于 $ t $，所以积分就是： $$ (x - 1) \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right) $$ --- ### 第三步：把三部分加起来 整个导数为： $$ x \ln(x^2 + 1) + (x - 1) \left( \ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right) $$ --- ### 第四步：化简表达式 我们展开： $$ x \ln(x^2 + 1) + (x - 1)\ln(x^2 + 1) + (x - 1)\cdot \frac{2x^2}{x^2 + 1} $$ 合并前两项： $$ x \ln(x^2 + 1) + (x - 1)\ln(x^2 + 1) = (2x - 1)\ln(x^2 + 1) $$ 所以最终结果为： $$ (2x - 1)\ln(x^2 + 1) + (x - 1)\cdot \frac{2x^2}{x^2 + 1} $$ --- ### ✅ 最终答案： $$ \boxed{(2x - 1)\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2(x - 1)}{x^2 + 1}} $$ 这就是所求的导数。