题目
设 overrightarrow(a) = 3, 5, -2，overrightarrow(b) = 2, 1, 4，且已知 lambda overrightarrow(a) + mu overrightarrow(b)与 z 轴垂直，则有 ()。 A. lambda = -7div 6mu B. lambda = 2mu C. lambda = 3mu D. lambda = mu
$$ 设 $\overrightarrow{a}\ \ = \{ 3, 5, -2\}$，$\overrightarrow{b}\ \ = \{ 2, 1, 4\}$，且已知 $\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b}$与 z 轴垂直，则有 ()。 $$
- A. $$ $\lambda = -7\div 6\mu$ $$
- B. $$ $\lambda = 2\mu$ $$
- C. $$ $\lambda = 3\mu$ $$
- D. $$ $\lambda = \mu$ $$
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定 $\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b}$ 的坐标
根据向量的线性组合，$\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b}$ 的坐标为：
$$
\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b} = \lambda \{ 3, 5, -2\} + \mu \{ 2, 1, 4\} = \{ 3\lambda + 2\mu, 5\lambda + \mu, -2\lambda + 4\mu\}
$$
步骤 2：确定与 z 轴垂直的条件
与 z 轴垂直意味着向量的 z 分量为 0，即：
$$
-2\lambda + 4\mu = 0
$$
步骤 3：解方程
解方程 $-2\lambda + 4\mu = 0$，得到：
$$
-2\lambda = -4\mu
$$
$$
\lambda = 2\mu
$$
根据向量的线性组合，$\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b}$ 的坐标为：
$$
\lambda \overrightarrow{a}\ \ + \mu \overrightarrow{b} = \lambda \{ 3, 5, -2\} + \mu \{ 2, 1, 4\} = \{ 3\lambda + 2\mu, 5\lambda + \mu, -2\lambda + 4\mu\}
$$
步骤 2：确定与 z 轴垂直的条件
与 z 轴垂直意味着向量的 z 分量为 0，即：
$$
-2\lambda + 4\mu = 0
$$
步骤 3：解方程
解方程 $-2\lambda + 4\mu = 0$，得到：
$$
-2\lambda = -4\mu
$$
$$
\lambda = 2\mu
$$