题目
1、lim_(ntoinfty)((1)/(n^2)+(2)/(n^2)+...+(n)/(n^2))=(2分) A. ∞ B. 极限不存在 C. 0 D. (1)/(2)
1、$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}}\right)=(2分)$
A. ∞
B. 极限不存在
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
A. ∞
B. 极限不存在
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
题目解答
答案
将原式合并为一个分数：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2}
\]
利用等差数列求和公式 $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，代入得：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n}
\]
分子分母同除以 $n$：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}
\]
因此，答案为 $\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的计算，涉及等差数列求和公式的应用以及极限的基本运算。
解题核心思路：
将题目中的求和表达式转化为等差数列求和形式，利用公式简化后，通过分子分母同除以最高次项的方法求解极限。
破题关键点：
- 识别等差数列求和结构：分子部分为$1+2+\cdots+n$，可直接应用等差数列求和公式。
- 化简分式：将分子展开后，分子分母同除以$n$的最高次项，转化为易求极限的形式。
原式为：
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2} \right)$
步骤1：合并求和项
将所有项合并为一个分式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2}$
步骤2：应用等差数列求和公式
分子部分$1 + 2 + \cdots + n$的和为：
$\frac{n(n+1)}{2}$
代入后表达式变为：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n}$
步骤3：化简分式
分子分母同除以$n$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}$
步骤4：求极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此极限值为：
$\frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$