5、函数f(x)=x4f(x)=x4的拐点数量是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

拐点是函数图像凹凸性发生改变的点。判断拐点的存在性，需要分析二阶导数的符号变化：

1. 求二阶导数，找到可能的拐点候选（二阶导数为零或不存在的点）。
2. 分析二阶导数在候选点两侧的符号：若符号改变，则该点为拐点；若符号不变，则不是拐点。

本题中，函数$f(x)=x^4$的二阶导数为$12x^2$，仅在$x=0$处为零。但通过符号分析可知，二阶导数在$x=0$两侧均为正，符号未改变，因此$x=0$不是拐点。

步骤1：求二阶导数

1. 一阶导数：
   $f'(x) = \frac{d}{dx} x^4 = 4x^3$
2. 二阶导数：
   $f''(x) = \frac{d}{dx} (4x^3) = 12x^2$

步骤2：寻找二阶导数为零的点

解方程$f''(x) = 0$：
$12x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$

步骤3：分析二阶导数的符号变化

• 当$x < 0$时：取测试点$x = -1$，则$f''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0$。
• 当$x > 0$时：取测试点$x = 1$，则$f''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0$。

结论：二阶导数在$x=0$两侧均为正，符号未改变，因此$x=0$不是拐点。